Autor Tema: Parte real de un complejo

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26 Marzo, 2020, 01:15 pm
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Steven_Math

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Buenos días, he estado resolviendo el siguiente ejercicio:
Si \( z=x+iy \) y \( Re\{z\}>0 \) entonces \( Re\{\bar{z}\sqrt{z^2-1}\}\geq 0 \).

Para tratar de mostrarlo utilicé el hecho que
\( Re\{\bar{z}\sqrt{z^2-1}\}=Re\{z\} \sqrt{|z^2-1|}cos\left(\frac{Arg\{z^2-1\}}{2}\right) \)

De esta manera solo restaba probar que
\( cos\left(\frac{Arg\{z^2-1\}}{2}\right)\geq 0 \)

Utilicé los casos

i) Si \( x\leq y \). (No tuve problemas en este caso)

ii) Si \( y<x \) y \( y<0 \)

iii) Si \( y<x \) y \( y>0 \)

He tenido problemas en probar los casos ii) y iii), pudieran ayudarme se los agradecería.


26 Marzo, 2020, 04:57 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Buenos días, he estado resolviendo el siguiente ejercicio:
Si \( z=x+iy \) y \( Re\{z\}>0 \) entonces \( Re\{\bar{z}\sqrt{z^2-1}\}\geq 0 \).

Para tratar de mostrarlo utilicé el hecho que
\( \bf\color{red}Re\{\bar{z}\sqrt{z^2-1}\}=Re\{z\} \sqrt{|z^2-1|}cos\left(\frac{Arg\{z^2-1\}}{2}\right) \)

De esta manera solo restaba probar que
\( cos\left(\frac{Arg\{z^2-1\}}{2}\right)\geq 0 \)

Utilicé los casos

i) Si \( x\leq y \). (No tuve problemas en este caso)

ii) Si \( y<x \) y \( y<0 \)

iii) Si \( y<x \) y \( y>0 \)

He tenido problemas en probar los casos ii) y iii), pudieran ayudarme se los agradecería.



No veo cómo es un hecho lo que he puesto en rojo.

La parte real del producto de dos números complejos es:

\( Re(z_1\cdot z_2)=Re\left(|z_1|\cdot|z_2|e^{i(Arg(z_1)+Arg(z_2))}\right)=|z_1|\cdot|z_2| cos(Arg(z_1)+Arg(z_2)) \)



Yo intentaría probar usando que si Re(z)>0, entonces \( -\dfrac{\pi}{2}<Arg(z)<\dfrac{\pi}{2} \)


Por otro lado por las condiciones dadas tenemos problemas cuando z es un real (y=0) entre cero y uno. Prueba, por ejemplo, z=1/2



Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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26 Marzo, 2020, 07:34 pm
Respuesta #2

Steven_Math

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Ingmarov, veo que tengo problemas en ese hecho que estoy utilizando. Pero no veo clara tú idea, ¿Cómo lo probarias?

26 Marzo, 2020, 07:50 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Ingmarov, veo que tengo problemas en ese hecho que estoy utilizando. Pero no veo clara tú idea, ¿Cómo lo probarias?

Para las condiciones dadas y agregando \( y\neq 0 \) debes probar que

\( -\dfrac{\pi}{2}<Arg(\overline{z}\sqrt{z^2-1})<\dfrac{\pi}{2} \)

Creo que deberás considerar dos casos uno por cada raíz cuadrada de un número complejo.


Podrías comenzar así

Si \( -\dfrac{\pi}{2}<Arg(z)<\dfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad -\pi<Arg(z^2)<\pi \)

También. \( -\pi<Arg(z^2-1)<\pi \)

Y continuar analizando los dos casos de la raíz.

Es solo una idea


Saludos

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