[YeffGC]

Hola amigos hace dias publique un ejercicio y avance solo lo unico que encontre un problema grande y espero su ayuda porque no se que hacer
Sea \( x_1,x_2,x_3,...,x_7 \) una muestra con distribucion de densidad
\( f(x):e^{-x}, x>0 \)
Encontrar la distribucion del menor valor, distribución de la mediana , distribucion del recorrido

Para encontrar la distribución mediana utilizamos el teorema que nos dice que  \( F(x) \) distribucion acumulada y \( k=1,2,...,n \):
\( F_{i,n}(x)=\displaystyle\sum_{k=i}^{n}\displaystyle\binom{n}{i}[F(x)]^k[1-F(x)]^{n-k} \) donde \(  F_{i,n}(x)  \) es la distribucion buscada

Pero hay una identidad que la expresion anterior podemos expresarla
\( F_{i,n}(x)=\displaystyle\frac{n!}{(1-n)!(n-i)!}\displaystyle\int_{0}^{F(x)}t^{i-1}(1-t)^{n-i}dt \)
Ahora como quiero la mediana tomamos a
\( i=\displaystyle\frac{n+1}{2} \) y \( F(x)=1-e^{-x} \)
Es correcto lo que estoy haciendo
Es un moustro lo que queda

[geómetracat]

No acabo de entender qué te piden ni qué pretendes hacer. ¿Puedes poner el enunciado del problema tal cual?

[YeffGC]

Aca lo comparto el ejercicio y ya lo corregi en el enunciado

[geómetracat]

Vale, entiendo que quieres calcular la función de distribución de la mediana de la muestra. Ya lo estás haciendo bien.
Puedes aplicar la fórmula que pones con \( n=7,i=4 \):
\( F_{4,7}(x)=\displaystyle\sum_{k=4}^{7}\displaystyle\binom{7}{k}[F(x)]^k[1-F(x)]^{7-k} \).
Ten en cuenta que para una exponencial de parámetro \( \lambda=1 \) como la que tienes, se tiene que \( F(x)=1-e^{-x} \) y \( 1-F(x) = e^{-x} \), así que te queda:
\( F_{4,7}(x)=\displaystyle\sum_{k=4}^{7}\displaystyle\binom{7}{k}(1-e^{-x})^ke^{-(7-k)x} \).
No queda muy bonito pero es lo que hay, la distribución de la mediana (y en general de los estadísticos de orden que no sean el máximo ni el mínimo) es bastante fea. Puedes probar a ver si puedes simplificar algo la expresión, pero no creo que puedas dar una expresión muy sencilla.

[YeffGC]

Ya gracias se ve mas bonito asi que con la integral gracias amigos