Autor Tema: Teorema de la función inversa.

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23 Marzo, 2020, 11:34 pm
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Hauss

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Hola, ayuda con el siguiente problema, por favor:

“Considera Mat(2,2) el conjunto de matrices con coeficientes reales de 2 x 2. Identifica cada matriz
\( X=\begin{bmatrix}{x_{1}}&{x_{2}}\\{x_{3}}&{x_{4}}\end{bmatrix} \) con un vector \(  \vec{x}=(x_{1},  x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in{\mathbb{R^{4}}} \),

A) describe explícitamente las componentes de la función \( f: Mat(2,2)\rightarrow{Mat(2,2)}, f(X)=X^{2} \) donde \( X^{2}=X\cdot{X} \) denota multiplicación de matrices. Escribe la matriz derivada \( Df_{x} \).

B) verifica que \( f(I)=I \) y que es un difeomorfismo local de una vecindad de la matriz identidad I a una vecindad de I.

C) verifica que \( f(E)=I \) pero no es localmente invertirle en una vecindad de la matriz \( E=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{bmatrix} \).”

24 Marzo, 2020, 07:42 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, ayuda con el siguiente problema, por favor:

“Considera Mat(2,2) el conjunto de matrices con coeficientes reales de 2 x 2. Identifica cada matriz
\( X=\begin{bmatrix}{x_{1}}&{x_{2}}\\{x_{3}}&{x_{4}}\end{bmatrix} \) con un vector \(  \vec{x}=(x_{1},  x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in{\mathbb{R^{4}}} \),

A) describe explícitamente las componentes de la función \( f: Mat(2,2)\rightarrow{Mat(2,2)}, f(X)=X^{2} \) donde \( X^{2}=X\cdot{X} \) denota multiplicación de matrices. Escribe la matriz derivada \( Df_{x} \).

B) verifica que \( f(I)=I \) y que es un difeomorfismo local de una vecindad de la matriz identidad I a una vecindad de I.

C) verifica que \( f(E)=I \) pero no es localmente invertirle en una vecindad de la matriz \( E=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{bmatrix} \).”

¿Qué has intentado? ¿En qué parte te has atascado?

24 Marzo, 2020, 07:52 am
Respuesta #2

Hauss

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¿Qué has intentado? ¿En qué parte te has atascado?

Me he atascado en el inciso A), no logro comprender a que se refiere con describir las componentes de la función, así como la matriz de derivadas, en ello no he intentado nada, pero creo que comprendiendo como actua la función podría resolver los otros dos.

Gracias por contestar, saludos.

24 Marzo, 2020, 09:33 am
Respuesta #3

Masacroso

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¿Qué has intentado? ¿En qué parte te has atascado?

Me he atascado en el inciso A), no logro comprender a que se refiere con describir las componentes de la función, así como la matriz de derivadas, en ello no he intentado nada, pero creo que comprendiendo como actua la función podría resolver los otros dos.

Gracias por contestar, saludos.

Describir en componentes es describir cómo se representa \( X^2 \) como un vector \( (a,b,c,d) \) en \( \mathbb{R} ^4 \), es decir, definir cada coeficiente de \( X^2 \) a partir de los coeficientes de \( X \). Para la derivada te pide la derivada de Fréchet \( Df(X) \) la cual puedes representar utilizando la matriz jacobiana, tratando el mapa \( X\mapsto X^2 \) como si fuese un mapa de vectores en \( \mathbb{R} ^4 \) en vez de matrices.