Autor Tema: UTF4 por contradicción (II)_editado2

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23 Marzo, 2020, 07:43 pm
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Fernando Moreno

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Hola,

Supongo que  \( \pmb{z^4=x^4+y^4} \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos y que  \( x\not\equiv{y} \) mod 2 .

En  \( \mathbb{Z(\omega)} \) :  El anillo ciclotómico definido sobre la raíz primitiva tercera de la unidad  \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2} \) .  Tenemos que:  \( (x^2+\omega y^2)(x^2+\omega^2 y^2)=x^4+y^4-x^2y^2 \) .  Luego:  \( \pmb{z^4-x^2y^2=(x^2+\omega y^2)(x^2+\omega^2 y^2)} \) .   

\( x^2+\omega y^2=(x+yi\sqrt{\omega})(x-yi\sqrt{\omega}) \)   -y-   \( x^2+\omega^2 y^2=\pmb{(x+\omega yi)(x-\omega yi)} \)

\( \sqrt{\omega} \)  \( \Leftrightarrow \)  \( \sqrt{\zeta_3} \)  ,  será la raíz primitiva sexta de la unidad  \( \zeta_6 \) :  \( \dfrac{1+\sqrt{-3}}{2} \) .  Luego:  \( \sqrt{\omega}=\omega+1 \) .  Y :  \( x^2+\omega y^2=\pmb{(x+yi+\omega yi)(x-yi-\omega yi)} \) .

Por tanto, un primo que divida á  \( z^4-x^2y^2 \) ,  de la forma  \( a+\omega b \) ,  para  \( a,b \)  coprimos; debe dividir a uno de los 4 factores referidos.


Veámoslo:


1)    \( \dfrac{\pmb{(x+yi+\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax+ayi+\omega ayi+\omega bx+\omega byi+\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab} \)


\( =\,\dfrac{ax+y(a-b)i+(bx+y(a-b)i)\omega}{a^2+b^2-ab} \)


Tenemos que:  \( (a-b)^2=a^2+b^2-2ab \)   -y-   \( a^2+b^2-ab \) .  Su suma es:  \( 2(a^2+b^2)-3ab \) ; y su diferencia:  \( -ab \) .  Luego ambos son coprimos salvo por  \( 2 \)  si consideramos á  \( a \)  ó á  \( b \)  par.  Pero:  \( a^2+b^2-2ab \)  -y-  \( a^2+b^2-ab \)  son impares.  Y sabemos además que  \( a^2+b^2-ab \) ,  al dividir á  \( z^4-x^2y^2 \) ,  no divide ni á  \( z^4 \)  ni á  \( x^2y^2 \) ,  que son coprimos. Luego:  \( a^2+b^2-ab \)  no divide á  \( ax \) ,  ni á  \( y(a-b) \) ,  ni, por tanto, á  \( bx+y(a-b)i \) .


2)    \( \dfrac{\pmb{(x-yi-\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax-ayi-\omega ayi+\omega bx-\omega byi-\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab} \)
     

\( =\,\dfrac{ax+y(b-a)i+(bx+y(b-a)i)\omega}{a^2+b^2-ab} \)


Y por la misma razón que en 1),  \( a^2+b^2-ab \)  no divide á  \( ax \) ,  ni á  \( y(b-a) \) ,  ni, por tanto, á  \( bx+y(b-a)i \) .


3)    \( \dfrac{\pmb{(x+\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax+\omega ayi+\omega bx+\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab} \)
   

\( =\,\dfrac{ax-byi+(bx+y(a-b)i)\omega}{a^2+b^2-ab} \)


Y :  \( a^2+b^2-ab \)  no divide á  \( ax \) ,  ni á  \( by \) ,  ni á  \( bx \) ,  ni á  \( y(a-b) \) .


4)    \( \dfrac{\pmb{(x-\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax-\omega ayi+\omega bx-\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab} \)
   

\( =\,\dfrac{ax+byi+(bx+y(b-a)i)\omega}{a^2+b^2-ab} \)


Y :  \( a^2+b^2-ab \)  no divide á  \( ax \) ,  ni á  \( by \) ,  ni á  \( bx \)  y ni á  \( y(b-a) \) .

Pero esto no puede ser. Luego  \( a^2+b^2-ab \)  debe dividir á  \( ax\,,\,by\,,\,bx \)  -y-  \( y(b-a) \) .  Y la única manera de que pueda ocurrir esto es que  \( a^2+b^2-ab \)  sea un factor común  (llamémosle \( m \))  de  \( z \)  con  \( x \)  -y- con  \( y \) .  Pero entonces tendremos que:  \( x=mx'\,,\,y=my'\,,\,z=mz' \) ;  para  \( x',y',z' \)  enteros  -y-   \( m^4z'\,^4=m^4x'\,^4+m^4y'\,^4 \) .  Por lo que existirá una ecuación de cuartas potencias menor con las mismas condiciones:  \( z'\,^4=x'\,^4+y'\,^4 \) .  Y se repetirá esto siempre. Iniciando un descenso infinito. Por lo que  \( x,y,z \)  no pueden ser racionales.

EDITADO - 16 de abril

EDITADO  -  28 de abril.

Repasando me doy cuenta que no es correcta, debido a que podría existir un primo que divida á  \( z^4-x^2y^2 \) ,  de la forma  \( a+bi\omega \)  y entonces tener como divisor a un  \( a^2-b^2-abi \) .  Y de esta forma ya no puedo deducir la imposibilidad de la división.


Un saludo,


PD. Por cierto, son cerca de las 20 horas (local). La hora de los aplausos a todos los sanitarios del mundo por su arriesgado trabajo para salvar nuestras vidas:   :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso:
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr