Hola,
Supongo que \( \pmb{z^4=x^4+y^4} \) , para \( x,y,z \) enteros, coprimos dos a dos y que \( x\not\equiv{y} \) mod 2 .
En \( \mathbb{Z(\omega)} \) : El anillo ciclotómico definido sobre la raíz primitiva tercera de la unidad \( \omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2} \) . Tenemos que: \( (x^2+\omega y^2)(x^2+\omega^2 y^2)=x^4+y^4-x^2y^2 \) . Luego: \( \pmb{z^4-x^2y^2=(x^2+\omega y^2)(x^2+\omega^2 y^2)} \) .
\( x^2+\omega y^2=(x+yi\sqrt{\omega})(x-yi\sqrt{\omega}) \) -y- \( x^2+\omega^2 y^2=\pmb{(x+\omega yi)(x-\omega yi)} \)
\( \sqrt{\omega} \) \( \Leftrightarrow \) \( \sqrt{\zeta_3} \) , será la raíz primitiva sexta de la unidad \( \zeta_6 \) : \( \dfrac{1+\sqrt{-3}}{2} \) . Luego: \( \sqrt{\omega}=\omega+1 \) . Y : \( x^2+\omega y^2=\pmb{(x+yi+\omega yi)(x-yi-\omega yi)} \) .
Por tanto, un primo que divida á \( z^4-x^2y^2 \) , de la forma \( a+\omega b \) , para \( a,b \) coprimos; debe dividir a uno de los 4 factores referidos.
Veámoslo:
1) \( \dfrac{\pmb{(x+yi+\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax+ayi+\omega ayi+\omega bx+\omega byi+\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab} \)
\( =\,\dfrac{ax+y(a-b)i+(bx+y(a-b)i)\omega}{a^2+b^2-ab} \)
Tenemos que: \( (a-b)^2=a^2+b^2-2ab \) -y- \( a^2+b^2-ab \) . Su suma es: \( 2(a^2+b^2)-3ab \) ; y su diferencia: \( -ab \) . Luego ambos son coprimos salvo por \( 2 \) si consideramos á \( a \) ó á \( b \) par. Pero: \( a^2+b^2-2ab \) -y- \( a^2+b^2-ab \) son impares. Y sabemos además que \( a^2+b^2-ab \) , al dividir á \( z^4-x^2y^2 \) , no divide ni á \( z^4 \) ni á \( x^2y^2 \) , que son coprimos. Luego: \( a^2+b^2-ab \) no divide á \( ax \) , ni á \( y(a-b) \) , ni, por tanto, á \( bx+y(a-b)i \) .
2) \( \dfrac{\pmb{(x-yi-\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax-ayi-\omega ayi+\omega bx-\omega byi-\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab} \)
\( =\,\dfrac{ax+y(b-a)i+(bx+y(b-a)i)\omega}{a^2+b^2-ab} \)
Y por la misma razón que en 1), \( a^2+b^2-ab \) no divide á \( ax \) , ni á \( y(b-a) \) , ni, por tanto, á \( bx+y(b-a)i \) .
3) \( \dfrac{\pmb{(x+\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax+\omega ayi+\omega bx+\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab} \)
\( =\,\dfrac{ax-byi+(bx+y(a-b)i)\omega}{a^2+b^2-ab} \)
Y : \( a^2+b^2-ab \) no divide á \( ax \) , ni á \( by \) , ni á \( bx \) , ni á \( y(a-b) \) .
4) \( \dfrac{\pmb{(x-\omega yi)}(a+\omega b)}{(a+\omega^2 b)(a+\omega b)}=\dfrac{ax-\omega ayi+\omega bx-\omega^2 byi}{a^2+b^2-ab} \)
\( =\,\dfrac{ax+byi+(bx+y(b-a)i)\omega}{a^2+b^2-ab} \)
Y : \( a^2+b^2-ab \) no divide á \( ax \) , ni á \( by \) , ni á \( bx \) y ni á \( y(b-a) \) .
Pero esto no puede ser. Luego \( a^2+b^2-ab \) debe dividir á \( ax\,,\,by\,,\,bx \) -y- \( y(b-a) \) . Y la única manera de que pueda ocurrir esto es que \( a^2+b^2-ab \) sea un factor común (llamémosle \( m \)) de \( z \) con \( x \) -y- con \( y \) . Pero entonces tendremos que: \( x=mx'\,,\,y=my'\,,\,z=mz' \) ; para \( x',y',z' \) enteros -y- \( m^4z'\,^4=m^4x'\,^4+m^4y'\,^4 \) . Por lo que existirá una ecuación de cuartas potencias menor con las mismas condiciones: \( z'\,^4=x'\,^4+y'\,^4 \) . Y se repetirá esto siempre. Iniciando un descenso infinito. Por lo que \( x,y,z \) no pueden ser racionales.
EDITADO - 16 de abrilEDITADO - 28 de abril.
Repasando me doy cuenta que no es correcta, debido a que podría existir un primo que divida á \( z^4-x^2y^2 \) , de la forma \( a+bi\omega \) y entonces tener como divisor a un \( a^2-b^2-abi \) . Y de esta forma ya no puedo deducir la imposibilidad de la división. Un saludo,
PD. Por cierto, son cerca de las 20 horas (local). La hora de los aplausos a todos los sanitarios del mundo por su arriesgado trabajo para salvar nuestras vidas:
