Autor Tema: Integración por sustitución

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21 Marzo, 2020, 09:23 pm
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hernanlopezpardo

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Que tal, les queria pedir una mano con este ejercicio que nose no sé como encontrar g(2), por favor.

Hallar g(2), continua para \( x\geq{0} \)

\( \displaystyle\int_{0}^{x^2}g(t)dt=x^2+x^6 \)

Por regla de la cadena

\( G(x^2)-G(0)=2x+6x^5 \)

Puedo expresar \( x^2=2 \) y reemplazar?

\( G(2)-G(0)=2\sqrt[2]{2}+6\sqrt[2]{2^5} \)
\( G(2)-G(0)=2\sqrt[2]{2}+6\sqrt[2]{32} \)

21 Marzo, 2020, 11:05 pm
Respuesta #1

hernanlopezpardo

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Por partes lo pensé así

\( g(t)=u \)
\( g'(t)dt=du \)
\( 1=v \)
\( dt=dv \)
\( \displaystyle\int_{0}^{x^2}g(t)dt=g(x^2)-\displaystyle\int_{0}^{x^2}g'(t)dt \)

22 Marzo, 2020, 05:56 am
Respuesta #2

hernanlopezpardo

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\( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^2}g(t)dt=x^2+x^6 \)
TFC
\( F'(x)=g(x^2)2x=2x+6x^5 \)
\( F'(\sqrt[2]{2})=g(2)2\sqrt[2 ]{2}=2\sqrt[2 ]{2}+6\sqrt[ 2]{2}^5 \)
\( g(2)=\displaystyle\frac{2\sqrt[2 ]{2}+6\sqrt[ 2]{2}^5}{2\sqrt[2 ]{2}}=1+3*2^2=13=g(2)Corregido \)

Estaría bien ahí?

22 Marzo, 2020, 06:52 pm
Respuesta #3

mg

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yo diria, con lo que se de integrales, que observes lo siguiente

\( \displaystyle\int_{0}^{x^2}1+3t^2dt=t+3\frac{t^3}{3}\Bigg|_0^{x^2}=x^2+x^6 \)

por tanto \( g(t)=1+3t^2\Rightarrow{g(2)=1+12=13} \) (corregido)

Código Latex editado por la administración.

22 Marzo, 2020, 07:35 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Tanto el procedimiento que usas en tu último mensaje como el de mg es correcto. El tuyo tiene la ventaja de que no tienes que "adivinar" la función \( g \).

Ahora bien, el resultado numérico es incorrecto en ambos casos: revisad los cálculos.
\( g(2)=1+3\cdot2^2 = 1 + 3\cdot 4 = 1 + 12 = 13 \)
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Marzo, 2020, 09:38 pm
Respuesta #5

hernanlopezpardo

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yo diria, con lo que se de integrales, que observes lo siguiente
\( \displaystyle\int_{0}^{x^2}1+3t^2dt=t+3\frac{t^3}{3}\Bigg|_0^{x^2}=x^2+x^6 \)
por tanto \( g(t)=1+3t^2\Rightarrow{g(2)=1+12=13} \) (corregido)

mc, podes explicarme como encontraste \( 1+3t^2? \)

22 Marzo, 2020, 09:38 pm
Respuesta #6

hernanlopezpardo

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Gracias, estoy recursando despues de varios años, y cuesta entrar en calor.

Saludos

22 Marzo, 2020, 09:57 pm
Respuesta #7

mg

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yo diria, con lo que se de integrales, que observes lo siguiente
\( \displaystyle\int_{0}^{x^2}1+3t^2dt=t+3\frac{t^3}{3}(definido en( x^2,0))=x^2+x^6 \)
por tanto \( g(t)=1+3t^2\Rightarrow{g(2)=1+12=13} \) (corregido)

mc, podes explicarme como encontraste \( 1+3t^2? \)
si, claro. En este caso saber la derivada de \( g(t) \) definda en \( (x^2,0) \) es simple, pues no existen terminos restando ya que el segundo limite de integracion es \( 0 \). Por tanto debia encontrar una expresion en variable \( t \) tal que al aplicar el limite de integracion \( x^2 \) resultara \(  x^2+x^6 \), esta expresion es en efecto \( t+t^3 \), denotemos \( G(t)=t+t^3 \).
Ahora queremos calcular su derivada para conseguir precisamente \( g(t)=G'(t) \), la cual es \( 1+3t^2 \).

Suerte con el curso, yo recien empece este año la carrera ;)

Saludos.

23 Marzo, 2020, 02:55 am
Respuesta #8

administrador

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\( \displaystyle\int_{0}^{x^2}1+3t^2dt=t+3\frac{t^3}{3}\Bigg|_0^{x^2}=x^2+x^6 \)
se obtiene con

 \displaystyle\int_{0}^{x^2}1+3t^2dt=t+3\frac{t^3}{3}\Bigg|_0^{x^2}=x^2+x^6