Autor Tema: Límite de conjuntos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

20 Marzo, 2020, 10:56 pm
Leído 531 veces

YeffGC

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 332
  • País: sv
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola encontré resuelto un ejercicio y no logro comprender cómo llega a la respuesta \(  \displaystyle\liminf_{n\rightarrow{\infty}} \left[0,\displaystyle\frac{n}{n+1}\right]=\limsup_{n\rightarrow{\infty}}\left[0,\displaystyle\frac{n}{n+1}\right]=[0,1) \)
¿Cuál es el trabajo que debo seguir al resolver ejercicios similares?

21 Marzo, 2020, 11:08 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Administrador
  • Mensajes: 11,151
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
Hola encontré resuelto un ejercicio y no logro comprender cómo llega a la respuesta \(  \displaystyle\liminf_{n\rightarrow{\infty}} \left[0,\displaystyle\frac{n}{n+1}\right]=\limsup_{n\rightarrow{\infty}}\left[0,\displaystyle\frac{n}{n+1}\right]=[0,1) \)

En http://fernandorevilla.es/blog/2017/11/01/limite-de-una-sucesion-de-conjuntos/ (apartado 3), aparece completamente resuelto. Plantea exactamente tus dudas.

22 Marzo, 2020, 09:01 pm
Respuesta #2

razielcero

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 66
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Aunque, como bien menciona Fernando, en su página está el ejercicio totalmente resuelto y explicado al detalle; yo solo agregaría algo más a modo de consejo tanto para "visualizar" este ejercicio, como quizás otros de estilo similar.

Recuerda que: \(  \displaystyle\liminf_{n \to{}\infty}{} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \displaystyle \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} \) y que \(  \displaystyle\limsup_{n \to{}\infty}{} = \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \displaystyle \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}  \). Si inicias estudiando el límite inferior, puedes ir tomando casos particulares:

\( 1. \displaystyle A_{1} =[0, \frac{1}{2})  \)
\( 2. \displaystyle A_{2} = [0, \frac{2}{3})  \)
\( 3. \displaystyle A_{3} = [0, \frac{3}{4})  \)

De lo anterior, es evidente que el intervalo resultante va a tender a ser \( [0,1) \) a medida que \( n \) crezca. Ahora, al hacer las intersecciones por casos particulares:

\(  \displaystyle \bigcap_{k=1}^{\infty} = A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}.... = [0, \frac{1}{2}) \)
\(  \displaystyle \bigcap_{k=2}^{\infty} = A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}.... = [0, \frac{2}{3}) \)
\(  \displaystyle \bigcap_{k=3}^{\infty} = A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5}.... = [0, \frac{3}{4}) \)

Y de forma evidente, al hacer las uniones de esas intersecciones, se obtiene:

\( \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} = [0,1) \)

Lo cual, no es más que el límite inferior. Un procedimiento análogo se puede hacer para el límite superior y concluir que coinciden los dos. Insisto, no creo que mi procedimiento sea una demostración; es más bien un análisis previo a la demostración misma, el cual tal vez te pueda servir para algún ejercicio similar en el que no se sepa qué hacer.

Saludos.

23 Marzo, 2020, 07:03 am
Respuesta #3

YeffGC

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 332
  • País: sv
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Interensante lo que ahora quiero probar con ese mismo metodo es que es que
\( A_n:\left\{{\displaystyle\frac{m}{n}},m \in \mathbb{N}\right\},n \in \mathbb{N} \)
\( \displaystyle\limsup_{n \to {\infty}}A_n=\mathbb{Q} \) pero no hayo como escribirla de forma formal sin que aparezca forzado
Yo voy asi
\( A_1=\mathbb{N} \)
\( A_2=\left\{{\displaystyle\frac{1}{2}},1,\displaystyle\frac{3}{2},2,..\right\} \)
\( A_3=\left\{{\displaystyle\frac{1}{3}},\displaystyle\frac{2}{3},1,...\right\} \)
\( \Rightarrow \)

\( \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k=A_1\cup A_2\cup...=\mathbb{Q} \)
\( \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k=A_2\cup A_3...=? \) y es acá donde me quede estancando no hayo el argumento para decir que es \( \mathbb{Q} \) ñara todos lo n cuando tiende al infinito

23 Marzo, 2020, 07:33 pm
Respuesta #4

razielcero

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 66
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No he hecho el ejercicio que propones, pero en principio veo relativamente sencillo resolver tu duda. Se tiene que:

\( 1.  A_{1}= \displaystyle  \{ \frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1},.... \} = \mathbb{N}  \)

\( 2.  A_{2} = \displaystyle \{ \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}.... \} \)

\( 3.  A_{3} = \displaystyle \{ \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{4}{3}.... \} \)

\( 4.  A_{4} = \displaystyle \{ \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{5}{4}.... \} \)

Al hacer las uniones:

\(  \displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty}{A_{k}} = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}... = \mathbb{Q^{+}} \) (Aunque el 0 no pertenece al conjunto que resulta de las uniones...)

Para hacer la segunda unión y no tener problema, basta con ver que \(  A_{1} = \mathbb{N} \subseteq A_{2} \)

Sea \(  x \in \mathbb{N}  \) pero además \(  \displaystyle x = \frac{2x}{2} \) y se tiene que: \(  \displaystyle \frac{2x}{2} \in A_{2}  (\forall x \in \mathbb{N})  \) por tanto \( x \in A_{2} \)

Entonces, al hacer la siguiente unión:

\(  \displaystyle \bigcup_{k=2}^{\infty}{A_{k}} = A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}...= \mathbb{Q^{+}} \) dado que los naturales quedaron incluidos en \( A_{2} \)

En la siguiente unión:
\(  \displaystyle \bigcup_{k=3}^{\infty}{A_{k}} = A_{3} \cup A_{4} \cup A_{5}...= \mathbb{Q^{+}} \) para ello basta justificar que  \(  A_{2} \subseteq A_{4} \)

Y así sucesivamente.... O al menos así lo veo yo, veremos si alguien tiene alguna observación más  :)

Saludos.

24 Marzo, 2020, 06:56 pm
Respuesta #5

YeffGC

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 332
  • País: sv
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Como tu dices es necesario la rigurosidad matematica yo encontre resuelto pero no entiendo sus argumentos
https://math.stackexchange.com/questions/1923554/liminf-and-limsup-of-a-n-m-n-m-in-mathbb-n

24 Marzo, 2020, 07:19 pm
Respuesta #6

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,440
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola encontré resuelto un ejercicio y no logro comprender cómo llega a la respuesta \(  \displaystyle\liminf_{n\rightarrow{\infty}} \left[0,\displaystyle\frac{n}{n+1}\right]=\limsup_{n\rightarrow{\infty}}\left[0,\displaystyle\frac{n}{n+1}\right]=[0,1) \)
¿Cuál es el trabajo que debo seguir al resolver ejercicios similares?

Sea \( (A_n) \) una sucesión de conjuntos cualesquiera, ahora supón que \( x\in \limsup_{n\to \infty }A_n=\bigcap_{n\geqslant 0}\bigcup_{k\geqslant n}A_k \), entonces \( x\in \bigcup_{k\geqslant n}A_k \) para todo \( n\in \mathbb N  \), lo que implica que \( x \) pertenece necesariamente a un número infinito de \( A_n \). Y viceversa: si \( x \) pertenece a un número infinito de \( A_n \) entonces pertenece al límite superior de la sucesión de conjuntos, ya que pertenece a todo conjunto de la forma \( \bigcup_{k\geqslant n}A_k \). Dicho de otro modo: \( x \) pertenece al límite superior de la sucesión si y sólo si pertenece a un número infinito de conjuntos de la sucesión (que es equivalente a decir que \( x \) pertenece a cada conjunto de alguna subsucesión de la sucesión).

De manera similar se puede demostrar que \( x\in \liminf_{n\to \infty }A_n \) si y solo si existe un \( N\in \mathbb N  \) tal que \( x\in A_n \) para todo \( n\geqslant N \) (es decir, que \( x \) pertenece a cada conjunto de alguna cola de la sucesión).

En resumen: el límite superior de una sucesión de conjuntos es el conjunto de puntos frecuentes de la sucesión, y el límite inferior de una sucesión de conjuntos es el conjunto de puntos eventuales de la sucesión, donde frecuente significa que aparece en un número infinito de conjuntos, y eventual que aparece siempre a partir de un determinado \( N\in \mathbb N  \) (es decir, que pertenece a cada conjunto de alguna cola de la sucesión).

Con esta caracterización del límite superior y del límite inferior puede resultar más sencillo demostrar el resultado del ejercicio.