Autor Tema: Integrabilidad

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27 Marzo, 2020, 11:28 am
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Bobby Fischer

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Hola,

Me preguntan: "Estudiar la integrabilidad en el sentido de Lebesgue de \( g: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x>0\}\to \mathbb{R} \) definida por \( g(x,y)=e^{-x^2-y^2}x\ln(x) \)"

¿Qué hay que probar?

Sé que si la función es integrable Riemann, entonces es integrable Lebesgue.

No lo veo claro.

Saludos.

27 Marzo, 2020, 12:40 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola,

Me preguntan: "Estudiar la integrabilidad en el sentido de Lebesgue de \( g: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x>0\}\to \mathbb{R} \) definida por \( g(x,y)=e^{-x^2-y^2}x\ln(x) \)"

¿Qué hay que probar?

Sé que si la función es integrable Riemann, entonces es integrable Lebesgue.

No lo veo claro.

Saludos.

Una función es \( L^1 \) si y solo si \( \int |f|<\infty  \), así que imagino te piden que veas si \( |f| \) tiene integral finita. En tu caso \( f \) es siempre positiva así que \( f=|f| \).

02 Abril, 2020, 01:47 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Una función es \( L^1 \) si y solo si \( \int |f|<\infty  \), así que imagino te piden que veas si \( |f| \) tiene integral finita.

Sí, lo he entendido. De todas formas, me parece curioso que se diga que una función es integrable Lebesgue en un cierto dominio de integración si existe la integral del valor absoluto de la función. ¿Integral de Riemann? La caracterización de integrabilidad Lebesgue a mi entender no tendría que depender de la de Riemann, sino más bien al contrario. ¿Acaso la integral de Lebesgue no suponía una 'mejora' respecto a la de Riemann? ¿No se suponía que era 'mucho mejor', porque 'extendía' el concepto de integral a dominios de integración donde la de Riemann no era aplicable?

\( \displaystyle\lim_{x\to 0^+}e^{-y^2}e^{-x^2}x|\ln(x)| \)=0;

\( \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-y^2}e^{-x^2}x|\ln(x)|=0 \) y por un criterio de comparación con \( \dfrac{1}{x^2} \) se demuestra la integral impropia de primera especie es convergente.

Citar
En tu caso \( f \) es siempre positiva así que \( f=|f| \).

\( \ln(x)<0 \) si \( 0<x<1 \), así que \( f\neq |f| \) en dominio que dan.

Gracias,

Saludos.

02 Abril, 2020, 04:49 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Sí, lo he entendido. De todas formas, me parece curioso que se diga que una función es integrable Lebesgue en un cierto dominio de integración si existe la integral del valor absoluto de la función. ¿Integral de Riemann? La caracterización de integrabilidad Lebesgue a mi entender no tendría que depender de la de Riemann, sino más bien al contrario. ¿Acaso la integral de Lebesgue no suponía una 'mejora' respecto a la de Riemann? ¿No se suponía que era 'mucho mejor', porque 'extendía' el concepto de integral a dominios de integración donde la de Riemann no era aplicable?

Pero es que la otra no es la integral de Riemann normal sino la impropia. La integral de Lebesgue integra todas aquellas que sean Riemann-integrables, pero la integral de Lebesgue es una integral absoluta, es decir, que integra sólo aquellas funciones medibles  cuya integral en valores absolutos es finita. La integral impropia de Riemann es otra cosa: ni es mejor ni peor que la de Lebesgue, es simplemente diferente.

La integral que corrige esos defectos es la integral de Riemann generalizada, más conocida como la integral de Kurzweil o de Henstock-Kurzweil, que está definida de tal forma que es capaz de integrar más funciones que la de Lebesgue y todas las impropias de Riemann, aunque luego tiene defectos en otras áreas (es difícil proponer una integral HK en varias dimensiones, no es tan intuitiva, etc...), por contra tiene la versión más general del teorema fundamental del cálculo.

Citar
\( \ln(x)<0 \) si \( 0<x<1 \), así que \( f\neq |f| \) en dominio que dan.

Gracias,

Saludos.

Sí, no había visto eso, toda la razón.

02 Abril, 2020, 05:11 pm
Respuesta #4

Bobby Fischer

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Gracias Masacroso,

Saludos.