Autor Tema: Área con números complejos

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20 Marzo, 2020, 05:22 am
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juanc

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Hola espero su ayuda en lo siguiente:
\( A=\{z\in\mathbb{C}:\left |{z-3}\right |+\left |{z+3}\right |=10\} \)
\( B=\{w\in\mathbb{C}:\left |{w}\right |\leq{}2\} \)
Si \( R=\{(z+w)\in\mathbb{C}:z\in A \wedge w\in B\} \)
Halle el área de la región\(  R \).

20 Marzo, 2020, 06:47 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Hola espero su ayuda en lo siguiente:
\( A=\{z\in\mathbb{C}:\left |{z-3}\right |+\left |{z+3}\right |=10\} \)
\( B=\{w\in\mathbb{C}:\left |{w}\right |\leq{}2\} \)
Si \( R=\{(z+w)\in\mathbb{C}:z\in A \wedge w\in B\} \)
Halle el área de la región\(  R \).

¿El conjunto A te resulta una elipse?

Si z=x+iy, para A tenemos los puntos de la elipse

\( \left(\dfrac{x}{5}\right)^2+\left(\dfrac{y}{4}\right)^2=1 \)


No le veo sentido al problema, o quizás no lo entienda.

La única región es la del conjunto B, el A tiene área nula.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

20 Marzo, 2020, 07:57 am
Respuesta #2

Masacroso

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Siguiendo con la idea de ingmarov la suma de \( w+B \) es simplemente una traslación del disco \( B \) a la posición con centro en \( w \). Esto nos deja una región comprendida entre dos elipses proporcionales, aunque no veo una manera limpia de plantear el problema, simplemente tengo la idea visual.

20 Marzo, 2020, 08:53 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

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  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
De acuerdo con lo dicho por ingmarov y Masacroso. Cada punto de la elipse  \( x^2/5^2+y^2/4^2=1 \) proporciona el centro de un círculo de radio \( 2 \) La unión de todos los círculos proporciona la región \( R \) limitada por las elipses \( x^2/7^2+y^2/6^2=1 \) y \( x^2/3^2+y^2/2^2=1 \). El área de \( R \) es por tanto \( A(R)=\pi \cdot 7\cdot 6- \pi \cdot 3\cdot 2=36\pi \).

20 Marzo, 2020, 09:49 am
Respuesta #4

poblemas

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  Buen, día

  Se me ocurrió la siguiente solución. Echadle un vistazo, aunque reconozco que la redacción es ambigua

Hola espero su ayuda en lo siguiente:
\( A=\{z\in\mathbb{C}:\left |{z-3}\right |+\left |{z+3}\right |=10\} \)
\( B=\{w\in\mathbb{C}:\left |{w}\right |\leq{}2\} \)
Si \( R=\{(z+w)\in\mathbb{C}:z\in A \wedge w\in B\} \)
Halle el área de la región\(  R \).

El conjunto A está formado por los puntos z del plano complejo cuya suma de distancias a los puntos \( f_1(-3,0) \), \( f_2(3,0) \) es 10; esto se corresponde con la caracterización de una elipse como lugar geométrico.

En este caso concreto de trata de la elipse con centro en el origen de coordenadas, focos en f1 y f2, su distancia focal es 2c=6 y eje mayor 2a=10. Por tanto dos de sus vértices del entre focal son \( A_1(-5,0),\; A_2(5,0) \). Cómo además debe cumplirse \( b^2+a^2=c^2 \), se tiene que el eje menor tiene por longitud 2b=8. Por tanto dos verdes en el eje secundario son los puntos \( B_1(-4,0),\; B_2(4,0) \).

La representación gráfica es la siguiente


Si ecuación implícita: \( \left(\dfrac{x}{5}\right)^2+\left(\dfrac{y}{4}\right)^2=1 \)

El área de esta elipse es \( S_1=a\cdot b\cdot\pi=20\pi \) unidades cuadradas.

El conjunto B está formado por los puntos w del plano complejo cuya distancia al origen de coordenadas es menor o igual a dos; esto corresponde a una caracterización del círculo como lugar geométrico.
En este caso concreto se trata de un círculo con centro en el origen de coordenadas y radio dos.

Si ecuación implícita \( x^2+y^2\leq 4 \)

El área de este círculo es \( S_2=\pi r^2=4\pi \)



Para calcular el área del conjunto R se procede de la forma siguiente:

El conjunto A+B se puede obtener de la forma siguiente:
\( \displaystyle A+B=\left(\sum_{a\in A}{a}\right)+B=\left(\sum_{a\in A}{a+B}\right) \)

Para todos los puntos de la elipse se debe sumar el área del círculo con centro en el origen y radio dos.

Así el área podía ser obtiene como el producto de la longitud de la elipse por el área del círculo.

Una aproximación de la longitud de la elipse es la siguiente:

\( L=\pi\cdot a\left(1-\dfrac{b}{a}\right)=\pi\cdot 5\left(1+\dfrac{\bf\color{red}2}{5}\right)={\bf\color{red}3}\pi \)


Por tanto, el área perdida es la siguiente:

\( A(R)\approx 3\pi\cdot 4\pi=12\pi^2 \)

20 Marzo, 2020, 06:02 pm
Respuesta #5

ingmarov

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Hola, bienvenido problemas

He editado tu mensaje para que tu solución se lea directamente en el mensaje, no motiva mucho descargar pdf's para revisar soluciones. Puse en rojo algo que debes revisar.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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