Autor Tema: Probabilidad de una varianza

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19 Marzo, 2020, 01:03 am
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YeffGC

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hola amigos espero que esten bien durante esta cuarentena y crisis acudo a ustedes porque ando algo oxidado en estadistica basica y me quiebra la cabeza este problema:

Sea \( S^2 \) la varianza muestral de una muestra aleatoria simple \( (X_1 , X_2 , ... , X_6 ) \) obtenida de
una población normal con media desconocida y varianza 12.
Calcular la probabilidad de que la varianza muestral esté comprendida entre 6.42 y 22.17

22 Marzo, 2020, 09:17 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Recuerda que la cuasivarianza muestral \( S^2 \) en una muestra de una población normal con varianza \( \sigma^2 \) tiene una distribución:
\( \frac{n-1}{\sigma^2} S^2 \sim \chi^2_{n-1} \)
(lema de Fisher).
Por tanto, como en nuestro caso \( n=6 \) y \( \sigma^2=12 \) tenemos que la probabilidad pedida es:
\( P\left( 6.42 \leq S^2 \leq 22.17 \right) = P \left( 6.42 \frac{5}{12} \leq \frac{5}{12}S^2 \leq 22.17 \frac{5}{12} \right) \).
Como \( \frac{5}{12}S^2 \sim \chi^2_5 \), es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución chi-cuadrado con \( 5 \) grados de libertad esté entre \( \frac{5}{12} 6.42 \) y \( \frac{5}{12}22.17 \). Esta probabilidad la puedes calcular mirando en tablas o con un ordenador.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Marzo, 2020, 03:35 am
Respuesta #2

YeffGC

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Recuerda que la cuasivarianza muestral \( S^2 \) en una muestra de una población normal con varianza \( \sigma^2 \) tiene una distribución:
\( \frac{n-1}{\sigma^2} S^2 \sim \chi^2_{n-1} \)
(lema de Fisher).
Por tanto, como en nuestro caso \( n=6 \) y \( \sigma^2=12 \) tenemos que la probabilidad pedida es:
\( P\left( 6.42 \leq S^2 \leq 22.17 \right) = P \left( 6.42 \frac{5}{12} \leq \frac{5}{12}S^2 \leq 22.17 \frac{5}{12} \right) \).
Como \( \frac{5}{12}S^2 \sim \chi^2_5 \), es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución chi-cuadrado con \( 5 \) grados de libertad esté entre \( \frac{5}{12} 6.42 \) y \( \frac{5}{12}22.17 \). Esta probabilidad la puedes calcular mirando en tablas o con un ordenador.
muchas gracias asi compruebo mi resultado