Autor Tema: Infinitésimos y diferenciales de una variable independiente

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21 Marzo, 2020, 11:39 am
Respuesta #20

feriva

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Hola, tengo la siguiente duda. Si alguien pudiese resolvérmela se lo agradecería:

Sea \( x \) la variable independiente de una función \( f(x) \). Se define un infinitésimo cuando \( {x\to a} \) en una función \( f(x) \)

Hola.

Por la idea que yo tenía y por lo que se ha dicho aquí, “infinitésimo” es una palabra análoga a otras expresiones que se emplean, como puede ser (aunque con un parecido lejano) la expresión “igualdades notables”; respecto de esto, se puede expandir o desarrollar cualquier polinomio, pero hay algunos desarrollos “famosos”, muy usados, como, por ejemplo, la suma por diferencia, que es diferencia de cuadrados. Son expresiones usadas para ciertas particularidades, mientras que el concepto de límite es mucho más general.

Saludos.

21 Marzo, 2020, 07:35 pm
Respuesta #21

ciberalfil

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24 Marzo, 2020, 11:32 pm
Respuesta #22

ciberalfil

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Pues yo diría que los infinitésimos han sido históricamente, y en mi opinón lo siguen siendo, la base del calculo, y en consecuencia son necesarios para entender los conceptos de derivada, de diferencial, de integral, e incluso tienen aplicación para construir la teoría de la medida, la geometría fractal y otras muchas disciplinas  que no tendrían el desarrollo actual si no fuera por ellos, negar su influencia en la historia de las matemáticas es como negarse a reconocer el merito de muchos grandes matemáticos que los utilizaron, y los utilizaron con éxito, pero en fin, así esta la cosa, no se que pecado cometieron pero no son queridos, son repudiados y se evita su uso, sin razón, ya que correctamente utilizados son un recurso muy útil, pero en fin que le vamos a hacer.

24 Junio, 2020, 09:22 pm
Respuesta #23

Restituto

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Yo no tengo muy claro qué es una función infinitesimal ni un infinitésimo. Si alguien puede definir alguno de los dos conceptos y dar ejemplos de su uso lo agradecería.

Pensaba que se estaba hablando de ciertas manipulaciones que se hacen en física/ingenierías que no están nada claras.
Disculpas por volver a este tema de los infinitesimales y su uso en física. Yo provengo de la falta de rigurosidad matemática formal casi obscena que se usa casi siempre en física y como este  es un tema tan ubicuo allí en todo lo que tiene que ver con transformaciones en cuántica y en relatividad, en termodinámica y en física clásica con los lagrangianos, en las cargas de Noether, etc... pero lo cierto es que practicamente en todos los casos esos razonamientos se pueden sustituir por los correspondientes rigurosos en lenguaje delta-epsilon siempre que se cumplan unas premisas que los físicos de todas formas siempre dan por supuestas como linealidad( también conocida como principio de superposición en física),  suavidad o  analiticidad, así que eventualmente me sentí tranquilo con las manipulaciones chapuceras ya que sabía que tenían versión rigurosa y además la chapucería  es intrínseca a mi forma de pensar por más que me gustaría que no fuese así. Pero sé que hay muchos matemáticos a los que esto les pone muy nerviosos.

Cosa diferente es que en algunas ocasiones  o situaciones físicas sea discutible asumir esas premisas sin más. En cualquier caso cuando infinitésimo se usa como adjetivo de cualquier objeto, ya sea función, transformación etc, si se aceptan esas premisas se puede sustituir la palabra por "aproximación lineal" a tal objeto sin mayor problema.

Un ejemplo de caso para el que no se encuentra la contrapartida rigurosa a los infinitésimos, al menos en la situación más física en espacio-tiempos 4-dimensionales es el de las teorías gauge de campos cuánticos relativistas con interacción, aquí curiosamente se tiene la aproximación perturbativa asumiendo analiticidad de las funciones en los valores relevantes pero aún no existe una teoría formal a la que esta perturbación se aproxime lo cual es curioso cuando menos.

En cualquier caso no sé si tienes en mente alguna manipulación concreta que no tiene nada que ver con esto.

24 Junio, 2020, 10:56 pm
Respuesta #24

geómetracat

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Yo tenía en mente cosas mucho más mundanas que la teoría cuántica de campos. Me refería a las típicas manipulaciones con diferenciales \( dx \) que se hacen en física, como calcular integrales con argumentos heurísticos del estilo "puedo considerar una esfera como suma de rodajas de espesor infinitesimal" y cosas así.
Sobre estos temas hay un tema antiguo en el foro, muy largo pero bastante clarificador. He intentado buscarlo pero no he conseguido encontrarlo, si lo consigo ya pondré el enlace.

En cualquier caso me refería a cosas que se pueden hacer de manera matemáticamente rigurosa pero en física no se hacen rigurosamente. Hasta donde yo sé, toda la física clásica, relatividad general y cuántica no relativista se puede tratar matemáticamente de manera rigurosa. La cuántica de campos (y teoría de cuerdas, etc) aún no se sabe cómo formalizar matemáticamente. De hecho es una situación curiosa. Por ejemplo, las teorías gauge se entienden perfectamente a nivel matemático en cuanto a teorías clásicas (antes de cuantizar): son conexiones en fibrados principales. Y de hecho son una herramienta tremendamente útil en ciertas áreas en geometría. En cambio cuando cuantizas la teoría todo se jode, y hasta el momento nadie sabe cómo formalizar eso.
De hecho, leí (o alguien me contó) alguna vez que la serie perturbativa de QED tiene radio de convergencia \( 0 \), es decir, ¡no converge para los valores del parámetro que se usan en la práctica! Desde luego, es una situación curiosa, porque es claro que la teoría funciona y no es un sinsentido. Es otro caso donde las "intuiciones físicas" van por delante del formalismo matemático.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Junio, 2020, 11:02 pm
Respuesta #25

manooooh

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Hola

Sobre estos temas hay un tema antiguo en el foro, muy largo pero bastante clarificador. He intentado buscarlo pero no he conseguido encontrarlo, si lo consigo ya pondré el enlace.

Recuerda que ya se puede buscar por el foro usando herramientas propias del foro: El buscador https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=search;advanced;search=

Saludos

25 Junio, 2020, 12:16 am
Respuesta #26

geómetracat

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La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Junio, 2020, 06:22 pm
Respuesta #27

Restituto

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Ya lo encontré:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=51685.0.


Gracias, he leído las 4 primeras páginas y  lo que dice Carlos Ivorra es básicamente lo mismo que yo pienso del tema.



Hasta donde yo sé, toda la física clásica, relatividad general y cuántica no relativista se puede tratar matemáticamente de manera rigurosa. La cuántica de campos (y teoría de cuerdas, etc) aún no se sabe cómo formalizar matemáticamente. De hecho es una situación curiosa. Por ejemplo, las teorías gauge se entienden perfectamente a nivel matemático en cuanto a teorías clásicas (antes de cuantizar): son conexiones en fibrados principales. Y de hecho son una herramienta tremendamente útil en ciertas áreas en geometría. En cambio cuando cuantizas la teoría todo se jode, y hasta el momento nadie sabe cómo formalizar eso.
Es verdad, pero fíjate que no es la cuantización en sí lo que lo estropea, ya que como has dicho la mecánica cuántica no relativista tiene  demostraciones rigurosas, muchas debidas a Stone, von Neumann y Weyl. Es la mezcla del gauge, la cuantización y la simetrías relativistas lo que no se ha podido formalizar rigurosamente.
La relatividad general es un caso muy particular ya que cuando se quiere hacer una teoría gauge de forma rigurosa, que es lo que demanda el principio físico sin contrapartida clara matemática de "covariacia general" relativista precisa de una cuantización que se persigue desde hace casi 100 años sin conseguirse. De hecho sí que hay una demostración que se puede acercar a lo que se considera riguroso en matemáticas, en el libro de Hawking y Ellis "The large scale structure of spacetime", pero para los físicos tiene el problema de que se apoya en el axioma de elección a través del lema de Zorn y no ofrece ningunna idea sobre como cuantizar el gauge relativista.



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De hecho, leí (o alguien me contó) alguna vez que la serie perturbativa de QED tiene radio de convergencia \( 0 \), es decir, ¡no converge para los valores del parámetro que se usan en la práctica! Desde luego, es una situación curiosa, porque es claro que la teoría funciona y no es un sinsentido. Es otro caso donde las "intuiciones físicas" van por delante del formalismo matemático.
Si es un poco lo que te decía de que "convergería" si se tuvieran las pruebas de que existe la teoría no-perturbativa, pero la realidad es que de momento no existe tal teoría.

Pero no es fácil que un físico acepte esto de manera cruda(como te lo contaron), porque resulta que según me contó alguien que parecía tomarselo en serio hay toda una serie de niveles de rigor para algunos físicos(de los muy, muy pocos a los que estas disquisiciones les importan o entienden): está el nivel mas bajo del libro chapucerillo de física del que se habla en el hilo de hace años que me enlazaste que solo sirve para andar por casa, luego hay pruebas que se consideran válidas en física teórica, un peldaño más arriba estaríann las que se consideran válidas en Física Matemática, y luego ya por fin las pruebas de los matemáticos. A mí esto me dió un poco la risa porque para mí o se prueba o no se prueba, pero al parecer las revistas físicas especializadas usan estas "pruebas" con estas jerarquías. Es decir hay teoremas físicos en teorías cuánticas de campos, en cuerdas, etc que se consideran "probados" para un nivel pero no para otro.

Ah, y lo bueno es que para los teoremas físicos en los que realmente no hay prueba, es decir no hay prueba rigurosa a nivel matemático, algunos  físicos les "echan la culpa" a los matemáticos por no ser lo suficientemente "brillantes" para probarlos después de tantos años.