Autor Tema: Infinitésimos y diferenciales de una variable independiente

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17 Marzo, 2020, 03:24 pm
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josanagui

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Hola, tengo la siguiente duda. Si alguien pudiese resolvérmela se lo agradecería:

Sea \( x \) la variable independiente de una función \( f(x) \). Se define un infinitésimo cuando \( {x\to a} \) en una función \( f(x) \) si se cumple \( \displaystyle\lim_{x\to a}{f(x)}=0 \). Se define \( dx \), diferencial de \( x \), como un número tan pequeño que casi es 0 pero que no llega a ser 0, es decir, un número infinitamente pequeño, o dicho de otra manera, como una variación infinitamente pequeña de esa \( x \). Mi duda es: ¿infinitésimo es sinónimo de diferencial de \( x \)? ó ¿todos los infinitésimos son \( dx \) pero no todos los \( dx \) son infinitésimos? ó ¿todos los \( dx \) son infinitésimos pero no todos los infinitésimos son \( dx \)? ó ¿son dos cosas totalmente distintas?

Gracias.

17 Marzo, 2020, 05:34 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, tengo la siguiente duda. Si alguien pudiese resolvérmela se lo agradecería:

Sea \( x \) la variable independiente de una función \( f(x) \). Se define un infinitésimo cuando \( {x\to_a} \) en una función \( f(x) \) si se cumple \( \displaystyle\lim_{x\to_a}{f(x)}=0 \).

¿En esa definición que es lo que sería exactamente el infinitésimo? ¿El límite funcional, el número \( a \), una sucesión convergente a \( a \)? No queda nada claro.

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Se define \( dx \), diferencial de \( x \), como un número tan pequeño que casi es 0 pero que no llega a ser 0, es decir, un número infinitamente pequeño, o dicho de otra manera, como una variación infinitamente pequeña de esa \( x \).

No existe un número real que cumpla con esas condiciones. Para definir algo parecido rigurosamente hay que utilizar el análisis no estándar. En ese contexto un infinitesimal sería uno de los tipos de números del cuerpo de los hiperreales.

Citar
Mi duda es: ¿infinitésimo es sinónimo de diferencial de \( x \)? ó ¿todos los infinitésimos son \( dx \) pero no todos los \( dx \) son infinitésimos? ó ¿todos los \( dx \) son infinitésimos pero no todos los infinitésimos son \( dx \)? ó ¿son dos cosas totalmente distintas?

Gracias.

En general se entiende por diferencial un tipo de vector en geometría diferencial (un vector en el fibrado cotangente de una variedad diferencial) y no tiene nada que ver con los números hiperreales.

19 Marzo, 2020, 11:37 am
Respuesta #2

ciberalfil

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El infinitesimo es la función cuyo limite es cero, pero para entender el concepto es necesario realizar algunas matizaciones de forma previa:

1.- El concepto de infinitesimo exige la existencia previa de un proceso de paso al limite, de forma que todas las funciones que en dicho proceso tengan limite cero serán infinitesimos. La condición de infinitesimo esta pues supeditada a un proceso de paso al limite que debe ser establecida previamente, así pues habrá funciones que podrá ser infinitesimos o no dependiendo de cual sea el proceso de paso al limite en el que se consideren.

2.- Los infinitesimos no existen de forma absoluta, su existencia es simplemente una consideración dependiendo del uso que se asigne a la función que lo genera. \( Sen(x) \) solo es un infinitesimo si nos encontramos en un proceso de paso al limite en el que \( x \) tiende a 0. (Para ser exactos que dicha función solo sera un infinitésimo si nos encontramos en un proceso que haga que se cumpla la:

\( \displaystyle\lim{Sen (x)}=0 \)

Es claro que no solo \( x\to 0 \) convierte a la función seno en un infinitésimo.

19 Marzo, 2020, 05:20 pm
Respuesta #3

ciberalfil

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En general se entiende por diferencial un tipo de vector en geometría diferencial (un vector en el fibrado cotangente de una variedad diferencial) y no tiene nada que ver con los números hiperreales.

Masacroso, contestar esto a alguien que plantea la pregunta que da origen al debate no sirve de nada, porque seguro que no sabe lo que es un fibrado, ni tan siquiera sepa lo que es la geometría diferencial.

Hay una frase que afirma que si no puedes explicarselo a tu abuela es que no lo entiendes, imagina pues que quien pregunto era tu abuela. Piensa que los diferenciales ya se usan actualmente a niveles de secundaria, asi que creo que un poco menos de nivel sería un poco más didactico. Tambien estoy personalmente interesado en ver la respuesta que das, no porque no sepa lo que es un diferencial, sino por ver como se lo explicas a alguien que no tiene ni pajolera idea de que es la geometría diferencial ni los fibrados. Me tienes sobre ascuas.


 ;)

19 Marzo, 2020, 08:09 pm
Respuesta #4

ciberalfil

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Bastaria para iniciar una sucinta explicación que respondieras a algunas de estas preguntas:

1.- dx que representa, un numero u otra cosa distinta

2.- dx que valores toma:

a) valores en el campo de los reales
b) otros valores (cuales)

3.- Cuantos valores puede tomar, uno solo o mas de uno?

4.- Que significado tiene la expresion:

dy=y'dx




20 Marzo, 2020, 04:13 pm
Respuesta #5

josanagui

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El infinitesimo es la función cuyo limite es cero, pero para entender el concepto es necesario realizar algunas matizaciones de forma previa:

1.- El concepto de infinitesimo exige la existencia previa de un proceso de paso al limite, de forma que todas las funciones que en dicho proceso tengan limite cero serán infinitesimos. La condición de infinitesimo esta pues supeditada a un proceso de paso al limite que debe ser establecida previamente, así pues habrá funciones que podrá ser infinitesimos o no dependiendo de cual sea el proceso de paso al limite en el que se consideren.

2.- Los infinitesimos no existen de forma absoluta, su existencia es simplemente una consideración dependiendo del uso que se asigne a la función que lo genera. \( Sen(x) \) solo es un infinitesimo si nos encontramos en un proceso de paso al limite en el que \( x \) tiende a 0. (Para ser exactos que dicha función solo sera un infinitésimo si nos encontramos en un proceso que haga que se cumpla la:

\( \displaystyle\lim{Sen (x)}=0 \)

Es claro que no solo \( x\to 0 \) convierte a la función seno en un infinitésimo.


Hola, gracias a todos por contestar. La verdad que no tengo mucha idea de lo que me quieres decir Masacroso ya que mi nivel es de bachillerato y poco más, aún así te doy las gracias por participar. Gracias Ciberalfil, ya me ha quedado más claro la definición de infinitésimo, y entiendo que es algo distinto a \( dx \), aunque no tengo claro lo que significa \( dx \). Por \( dx \) (me refiero al dx que aparece por ejemplo al final de una integral) entiendo que es un número infinitamente pequeño pero que no llega a ser cero, aunque claro, esta es una definición muy poco formal.

20 Marzo, 2020, 04:52 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Este es un tema recurrente en este foro sobre el que se ha hablado extensamente. No me quiero meter en discusiones sobre esto, pero creo que es importante para josanagui dejar clara una cosa.

En el análisis matemático ortodoxo actual, es decir, tal como lo hacen los matemáticos, no existen ni los infinitésimos ni las diferenciales \( dx \), salvo en el contexto que ya ha mencionado Masacroso de geometría diferencial, donde tienen un significado muy preciso, pero que no tiene nada que ver con números infinitamente pequeños ni nada parecido. Desde el punto de vista ortodoxo, la respuesta de Masacroso es impecable.

Ahora bien, los físicos y los ingenieros usan infinitésimos y diferenciales a menudo, de una manera un tanto informal. Otro tema es si se pueden dar justificaciones totalmente rigurosas al uso que hacen, en lo que no voy a entrar.

En cualquier caso, rigurosamente hablando, esto:
Por \( dx \) (me refiero al dx que aparece por ejemplo al final de una integral) entiendo que es un número infinitamente pequeño pero que no llega a ser cero, aunque claro, esta es una definición muy poco formal.
es un sinsentido: no existe ningún número real que sea "infinitamente pequeño" (¿qué quiere decir eso?) y no sea cero. La única forma que conozco de dar sentido riguroso a esto, son los hiperreales y cosas parecidas, pero no creo que sea muy bueno meterse en esos jaleos.

En resumen: para los matemáticos actuales, no hay ni diferenciales ni infinitésimos, aunque físicos e ingenieros los usen contínuamente de forma "informal".


La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Marzo, 2020, 06:53 pm
Respuesta #7

ciberalfil

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Podemos intentar evitar el uso de los infinitésimos y de los infinitos (me refiero a las funciones que en un proceso de paso al límite tienden a 0 e infinito respectivamente) pero negar su existencia es como negar que el sol sale todos los días por el horizonte, basta con levantar los ojos para ver que esta ahí.

Quizás la razón de evitar este uso es que históricamente han sido muy conflictivos y que han tenido muchos detractores a lo largo de la historia, pero usarlos es tan lícito como usar el calor del sol para calentarnos y aprovechar su energía.

Decir que para los matemáticos los infinitésimos no existen es una solemne barbaridad, podemos aceptar que la ortodoxia evite su uso y prefiera otros métodos para desarrollar la teoría pero decir que no existen, venga hombre que la ciencia y el dogma son cosas bien distintas, hoy, hace 500 años y hace 3.000 años también.

Parece mentira que alguien que se muestra como moderador global deje aqui, en este foro, una afirmación tan claramente falsa sobre lo que piensan los matemáticos.

20 Marzo, 2020, 07:06 pm
Respuesta #8

geómetracat

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Cuando digo que "no existen" únicamente me refiero a que no encontrarás ninguna referencia a ellos si lees un libro moderno de análisis matemático ortodoxo  o asistes a clases en una facultad de matemáticas, y que cualquier cosa que puedas hacer con ellos la puedes hacer igualmente sin ellos usando la teoría ortodoxa.

No entro en ningún otro sentido de la existencia, que son asuntos ya más filosóficos que matemáticos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Marzo, 2020, 07:09 pm
Respuesta #9

ciberalfil

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Bien, pero es "licito" estudiarlos, y aprovechar sus propiedades siempre que se haga de forma rigurosa o debe evitarse su estudio?

20 Marzo, 2020, 07:28 pm
Respuesta #10

geómetracat

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Yo no soy quién para decirlo. Es lícito estudiar todo lo que uno quiera estudiar. Yo personalmente creo que no he visto una teoría totalmente rigurosa de infinitésimos (sin entrar en hiperreales, etc). Sobre aprovechar sus propiedades y usarlos en la práctica: pues siempre que se usen bien y llegues a los resultados correctos, adelante. Me consta que muchos físicos encuentran muy útil pensar en términos de infinitésimos, y yo no tengo nada en contra. Ahora bien, si pretendes demostrar teoremas, tendrás que justificar muy bien su uso (o no usarlos directamente).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Marzo, 2020, 09:29 pm
Respuesta #11

ciberalfil

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Un infinitésimo no es mas que una función cuyo límite en unas determinadas circunstancias es 0. El concepto de límite es ortodoxo y el de función también así que no existe razón para evitar su uso, son conceptos matemáticos tan validos como otros cualesquiera. Porque no usarlos ¿cual es la razón? ¿Puedes darme una razón para poner los infinitésimos en cuarentena?

Como defines la derivada sin usar el concepto de infinitésimo, y la integral de Riemman, como se hace sin usar dicho concepto?

La derivada es el limite de un cociente de infinitésimos, y la integral es una suma límite de infinitésimos, pueden definirse de otra forma, porque que yo sepa siempre se han definido usando dichos conceptos, como lo harías sin usarlos?

20 Marzo, 2020, 10:27 pm
Respuesta #12

geómetracat

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No quería entrar en muchas discusiones sobre infinitésimos, solamente dejar claro que no es un concepto que usen los matemáticos profesionales.

Pero en fin, vamos allá. ¿Qué determinadas circunstancias? Dame una definición rigurosa de infinitésimo, que deje totalmente claro qué es y qué no es un infinitésimo.

De todas formas, a mí me parece que lo que piensa mucha gente cuando habla de infinitésimos va más en el estilo de "cantidad infinitamente pequeña que no es cero" que en límites de funciones.

Sobre las definiciones de derivadas e integrales, puedes mirar cualquier libro moderno de análisis y verás que se definen sin hacer referencia a infinitésimos.
Por ejemplo, se define la derivada de una función \( f \) en un punto \( x \) como:
\( f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \).
Como ves, no hace falta para nada mencionar infinitésimos. Si quieres decir que el numerador y el denominador de la fracción dentro del límite son infinitésimos porque tienden a 0, me parece muy bien, pero la cuestión es que no es necesario introducir el concepto de infinitésimo para que esa definición tenga sentido.

El problema con los infinitésimos es que, al menos yo, no sé ninguna definición rigurosa y por tanto no soy capaz de verle sentido a algunas manipulaciones que se hacen.
Por ejemplo, una manipulación muy típica es "separar la derivada":
\( \frac{df}{dx} = g \Rightarrow df = g dx \).
¿Cuál es el sentido de la segunda igualdad? ¿Qué son exactamente \( df \) y \( dx \)? Yo no lo sé. Si tu lo sabes te agradecería que me lo dijeras.

En cualquier caso, si se da una definición rigurosa de infinitésimo o de diferencial y una justificación rigurosa de los usos que se hacen con ellos, yo no tengo ningún problema en que se use. Lo único que digo es que son conceptos que no se usan en la matemática ortodoxa, y eso es algo que ni tú ni yo vamos a cambiar.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Marzo, 2020, 11:21 pm
Respuesta #13

Juan Pablo Sancho

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El problema es que estáis hablando de cosas diferentes.
ciberalfil hablas de sucesiones infinitesimales o funciones infinitesimales en un punto y geómetracat habla de infinitésimos son cosas diferentes.
La derivada es el cociente de dos funciones infinitesimales en un mismo punto, vamos dos funciones que tienden a cero en un punto dado.

20 Marzo, 2020, 11:58 pm
Respuesta #14

geómetracat

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El problema es que estáis hablando de cosas diferentes.
ciberalfil hablas de sucesiones infinitesimales o funciones infinitesimales en un punto y geómetracat habla de infinitésimos son cosas diferentes.
La derivada es el cociente de dos funciones infinitesimales en un mismo punto, vamos dos funciones que tienden a cero en un punto dado.

Puede ser. Yo no tengo muy claro qué es una función infinitesimal ni un infinitésimo. Si alguien puede definir alguno de los dos conceptos y dar ejemplos de su uso lo agradecería. En cualquier caso yo diría que la derivada es un límite de un cociente, no un cociente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Marzo, 2020, 12:39 am
Respuesta #15

Juan Pablo Sancho

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Claro geómetracat es que la derivada es el límite de un cociente.

Una sucesión infinitesimal es una sucesión con límite cero y una función infinitesimal en un punto \( a \) es aquella que \( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 0  \).

No hay que confundir una función o una sucesión con límite cero (sucesión infinitesimal o función infinitesimal en un punto ) con un infinitésimo.

El problema es que no estoy contradiciendo a ninguno de  los dos digo que estáis usando conceptos diferentes con una misma nomenclatura.


21 Marzo, 2020, 12:55 am
Respuesta #16

geómetracat

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Vale. Con respecto a esa definición ni yo ni nadie creo que tenga nada que objetar. Pensaba que se estaba hablando de ciertas manipulaciones que se hacen en física/ingenierías que no están nada claras. Si llamas "función infinitesimal" en un punto simplemente a una función que tiene límite cero en dicho punto, pues nada que decir.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Marzo, 2020, 01:20 am
Respuesta #17

Juan Pablo Sancho

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Claro usan que:
\( \displaystyle f'(x) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \dfrac{df}{dx}  \) donde \( \dfrac{df}{dx} \) es un límite no una fracción como repetiste muchas veces, no  es válido poner \(  f'(x) \cdot dx = df  \) esto es notación.
 !!!!!que si tiene una explicación  en teoría de integrales ¡¡¡, es un cambio de variables para ver que las dos integrables dan lo mismo. 
En ningún caso quise suponer que te equivocabas geómetracat.
Otro caso es la diferencial de una función que con la misma notación \( f'(x) =\dfrac{df}{dx}  \) no tiene el mismo sentido.

21 Marzo, 2020, 01:51 am
Respuesta #18

ciberalfil

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Yo nunca he hablado de manipulaciones, yo solo he hablado de la existencia, definicion rigurosa y uso correcto de los infinitesimos que no son mas que funciones que contempladas en un determinado proceso de paso al limite presentan limite 0, es decir:

\( F(x) \) es un infinitesimo en \( a \) si y solo si \( \displaystyle\lim_{x \to a}F(x)=0 \)

Te parece rigurosa?

Por supuesto que para poder tratar dicha funcion como infinitesimo debe hacerso solo en un proceso de paso
al limite en el que la variable independiente tiende hacia el valor a.

Esto no tiene nada que ver con numeros infinitesimmales o hiperreales, es calculo sencillo, puro y duro.

21 Marzo, 2020, 02:23 am
Respuesta #19

geómetracat

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Por supuesto, con esa definición en principio no tengo nada que objetar. Supongo que ha sido un malentendido, pensaba que estábamos hablando de otra cosa.

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)