[carsand]

Hola,

estoy mirando si \( x=\frac{1}{(3^{m})+1} \) pertenece al conjunto de Cantor usando que \( x\in C\Leftrightarrow x=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\alpha _{n}}{3^{n}} \) donde \( \alpha _{n}\in \left \{ 0,2 \right \} \), pero no logro verlo, ¿alguien puede darme alguna indicación de cómo hacerlo?


Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

estoy mirando si \( x=\frac{1}{(3^{m})+1} \) pertenece al conjunto de Cantor usando que \( x\in C\Leftrightarrow x=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\alpha _{n}}{3^{n}} \) donde \( \alpha _{n}\in \left \{ 0,2 \right \} \), pero no logro verlo, ¿alguien puede darme alguna indicación de cómo hacerlo?

Comprueba que

\( x=0.\underbrace{00\ldots 0}_m\underbrace{22\ldots 2}_m\underbrace{00\ldots 0}_m\underbrace{22\ldots 2}_m\dots \)

en base \( 3 \) y por tanto si pertenece al conjunto de cantor.

Para ello nota que:

\( 0.\underbrace{00\ldots 0}_m\underbrace{22\ldots 2}_m\underbrace{00\ldots 0}_m\underbrace{22\ldots 2}_m\dots_{(3}=\dfrac{{\overbrace{22\ldots 2}^m}_{3)}}{\underbrace{22\ldots 2_{3)}}_{2m}}=\\
=\dfrac{3^m-1}{3^{2m}-1}=\dfrac{1}{3^m+1} \)

Saludos.