Autor Tema: Distribución de la media muestral de una Bernoulli(p)

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11 Marzo, 2020, 12:56 pm
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JorgeFC

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Me piden hallar la distribución en el muestreo de la media muestral de una muestra aleatoria simple de tamaño n de la distribución Bernoulli(p).

He aplicado el Teorema Central del Límite y el resultado es que sigue una normal de media p y varianza \( \sqrt[ ]{p*q/n} \). Pero para aplicarlo necesito que la muestra sea grande. ¿Esto sería correcto o hay un resultado general para el caso de la Bernoulli que no dependa del tamaño de la muestra?

Muchas gracias y un saludo.

11 Marzo, 2020, 01:07 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Me piden hallar la distribución en el muestreo de la media muestral de una muestra aleatoria simple de tamaño n de la distribución Bernoulli(p).

He aplicado el Teorema Central del Límite y el resultado es que sigue una normal de media p y varianza \( \sqrt[ ]{p*q/n} \). Pero para aplicarlo necesito que la muestra sea grande. ¿Esto sería correcto o hay un resultado general para el caso de la Bernoulli que no dependa del tamaño de la muestra?

Muchas gracias y un saludo.

Sería normal si \( n \) fuese infinito, es decir, el teorema central del límite es eso: un límite, que no se alcanza en general con muestras finitas. Una suma de \( n \) Bernoulli's independientes e idénticamente distribuidas define una distribución binomial.

AÑADIDO: añadir que, como es un límite, entonces la distribución de la media de \( n \) Bernoulli's se puede aproximar con una distribución normal. El error con una aproximación es "pequeño", de hecho se puede estimar tal error:

https://en.wikipedia.org/wiki/Berry%E2%80%93Esseen_theorem

11 Marzo, 2020, 01:08 pm
Respuesta #2

geómetracat

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Es correcto (aproximadamente) para muestras grandes, pero puedes dar un resultado exacto en el caso de Bernouilli. Solo tienes que recordar que la suma de Bernouillis independientes (con el mismo parámetro) es una binomial, así que:
\( \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n} Y \) con \(  Y \sim Binom(n,p) \).

Si quieres la distribución de esto:
\( P(\bar{X}= k) = P(Y = nk) = \binom{n}{nk} p^{nk}(1-p)^{n-nk} \)
donde \( k \in \{0,1/n, 2/n, \dots, n/n=1 \} \) ya que una \( Binom(n,p) \) puede tomar valores en \( 0,1,2, \dots, n \).

La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Marzo, 2020, 01:15 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Me piden hallar la distribución en el muestreo de la media muestral de una muestra aleatoria simple de tamaño n de la distribución Bernoulli(p).

He aplicado el Teorema Central del Límite y el resultado es que sigue una normal de media p y varianza \( \sqrt[ ]{p*q/n} \). Pero para aplicarlo necesito que la muestra sea grande. ¿Esto sería correcto o hay un resultado general para el caso de la Bernoulli que no dependa del tamaño de la muestra?

Muchas gracias y un saludo.

Una normal no es, ya que en realidad es una distribución discreta. Cuanto más grande es \( n \), más "se parece" a una normal.

Puedes ver directamente que la suma de \( n \) variables independientes de Bernoulli es una Binomial \( B(n,p) \).

\( P(X_1+X_2+\ldots+X_n=k)=\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \)

Saludos.

P.D. Se adelantó geómetracat...