Autor Tema: Diferencia de cuadrado de primos múltiplo de 12

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11 Marzo, 2020, 12:53 am
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pablofm

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Me piden demostrar que: si P y Q son números primos tales que \( P\geq{Q}\geq{5} \) entonces \( ((P^2)-(Q^2))\equiv 0\mod(12) \)
Mi planteamiento: como \( (P^2)-(Q^2)=(P+Q)*(P-Q) \) entonces \( (P^2)-(Q^2) \) es par por ser producto de dos pares.
Además por el Pequeño teorema de Fermat se tiene que \( (P^2)\equiv{1MOD(3)} \) y que \( (Q^2)\equiv{1MOD(3)} \),
luego \( ((P^2)-(Q^2))\equiv{0MOD(6)} \). Entonces \( 6*K=(P^2)-(Q^2) \)\( \Rightarrow{3*K=((P^2)-(Q^2))/2=2*L} \) de donde se deduce que K es par y por tanto \( ((P^2)-(Q^2))\equiv{0MOD(12)} \)
Consideráis correctos los razonamientos? gracias de antemano.

11 Marzo, 2020, 08:20 am
Respuesta #1

feriva

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Me piden demostrar que: si P y Q son números primos tales que \( P\geq{Q}\geq{5} \) entonces \( ((P^2)-(Q^2))\equiv 0\mod(12) \)
Mi planteamiento: como \( (P^2)-(Q^2)=(P+Q)*(P-Q) \) entonces \( (P^2)-(Q^2) \) es par por ser producto de dos pares.
Además por el Pequeño teorema de Fermat se tiene que \( (P^2)\equiv{1MOD(3)} \) y que \( (Q^2)\equiv{1MOD(3)} \),
luego \( ((P^2)-(Q^2))\equiv{0MOD(6)} \). Entonces \( 6*K=(P^2)-(Q^2) \)\( \Rightarrow{3*K=((P^2)-(Q^2))/2=2*L} \) de donde se deduce que K es par y por tanto \( ((P^2)-(Q^2))\equiv{0MOD(12)} \)
Consideráis correctos los razonamientos? gracias de antemano.

En la última igualdad tiene un despiste creo; supongo que has querido dividir entre.

Ah, no perdona, que lo que quieres decir es que es un cuadrado por ser diferencia de cuadrados y es múltiplo de 4.

De todas formas es mucho más directo, es la diferencia entre dos impares y es par.


Saludos.

11 Marzo, 2020, 10:04 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Me piden demostrar que: si P y Q son números primos tales que \( P\geq{Q}\geq{5} \) entonces \( ((P^2)-(Q^2))\equiv 0\mod(12) \)
Mi planteamiento: como \( (P^2)-(Q^2)=(P+Q)*(P-Q) \) entonces \( (P^2)-(Q^2) \) es par por ser producto de dos pares.

No sólo par sino múltiplo de \( 4 \)  por ser producto de dos pares.

Citar
Además por el Pequeño teorema de Fermat se tiene que \( (P^2)\equiv{1MOD(3)} \) y que \( (Q^2)\equiv{1MOD(3)} \),
luego \( ((P^2)-(Q^2))\equiv{0MOD(6)} \)
.

Cuando dices que es \( 0 \) módulo \( 6 \) supongo que usas que la diferencia era par. Pero como te he dicho en realidad sabes que es múltiplo de \( 4 \). Luego si es múltiplo de \( 3 \) y de \( 4 \) lo es de \( 12 \) y has terminado.

Citar
Entonces \( 6*K=(P^2)-(Q^2) \)\( \Rightarrow{3*K=((P^2)-(Q^2))/2=2*L} \) de donde se deduce que K es par y por tanto \( ((P^2)-(Q^2))\equiv{0MOD(12)} \)

Cuando escribes esto:

\( ((P^2)-(Q^2))/2=2*L \)

estás usando que \( P^2-Q^2 \) es múltiplo de \( 4 \), luego en realidad el razonamiento puede acortarse según te he indicado.

Saludos.

11 Marzo, 2020, 01:37 pm
Respuesta #3

pablofm

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No sólo par sino múltiplo de \( 4 \)  por ser producto de dos pares.


Se me pasó por alto ese detalle, gracias por tu respuesta, un saludo.