Autor Tema: Una función continua y biyectiva no implica homeomorfismo.

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10 Marzo, 2020, 05:29 am
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lcdeoro

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Sea \( f: (X, \tau_X)\longrightarrow{(Y, \tau_Y)} \) una función continua y biyectiva. Muestre que esto no implica que  \( f: (X, \tau_X)\longrightarrow{(Y, \tau_Y)} \) es un homeomorfismo.

Bastaría con mostrar que una función continua y biyectiva, su inversa no sea continua. Y se me ocurre este contraejemplo:

\(  f:[-1,0]\cup(1,2]\to[0,4]\\ f(x)=x^2 \)

\( f^{-1}:[0,4]\to[-1,0]\cup(1,2]\\ f^{-1}(x)= \begin{cases} \sqrt{x} & \text{si}& x\in[0,1]\\ \sqrt{x} & \text{si}& x\in(1,4]\end{cases} \)

La inversa no es continua en \( x=1 \)

10 Marzo, 2020, 06:27 am
Respuesta #1

Masacroso

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Sea \( f: (X, \tau_X)\longrightarrow{(Y, \tau_Y)} \) una función continua y biyectiva. Muestre que esto no implica que  \( f: (X, \tau_X)\longrightarrow{(Y, \tau_Y)} \) es un homeomorfismo.

Bastaría con mostrar que una función continua y biyectiva, su inversa no sea continua. Y se me ocurre este contraejemplo:

\(  f:[-1,0]\cup(1,2]\to[0,4]\\ f(x)=x^2 \)

\( f^{-1}:[0,4]\to[-1,0]\cup(1,2]\\ f^{-1}(x)= \begin{cases} \sqrt{x} & \text{si}& x\in[0,1]\\ \sqrt{x} & \text{si}& x\in(1,4]\end{cases} \)

La inversa no es continua en \( x=1 \)

Claro, otra forma de verlo es observar que la imagen de \( f^{-1} \) no es compacta, y por tanto no puede ser continua. O que la imagen de \( f \) es conexa pero no su dominio (en todo esto asumimos las topologías inducidas de la topología estándar de \( \Bbb R  \)).

Otro ejemplo clásico sobre esto es la parametrización de una curva conexa que se acerca a un mismo punto por dos caminos distintos (para esto también asumimos las topologías inducidas de la estándar de \( \Bbb R ^n \)). La idea intuitiva es que al acercarnos a un mismo punto por dos caminos distintos entonces la función inversa tenderá a dos valores diferentes, por lo que no puede ser continua en ese punto.

11 Marzo, 2020, 03:10 am
Respuesta #2

lcdeoro

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Viendo de nuevo lo que acabo de hacer creo que estoy mal, porque la función \( f(x)=x^2 \) no es biyectiva y he pensado en otros ejemplos tales que las funciones sean continuas y biyectivas y en todos los casos la inversa también es continua.

Para ver si me pueden ayudar a encontrar un contraejemplo.

11 Marzo, 2020, 08:27 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Viendo de nuevo lo que acabo de hacer creo que estoy mal, porque la función \( f(x)=x^2 \) no es biyectiva y he pensado en otros ejemplos tales que las funciones sean continuas y biyectivas y en todos los casos la inversa también es continua.

Ojo, la función \( f(x)=x^2 \) con dominio \( [-1,0]\cup (1,2] \) y conjunto final \( [0,4] \) SI es biyectiva y por tanto tu ejemplo es implecablemente correcto.

Si pretendes buscar un ejemplo de función real de variable real del tipo:

\( f:\Bbb R\to \Bbb R \)

no lo vas a encontrar. En ese caso particular si es cierto que si \( f \) es biyectiva continua entonces es homeomorfismo.

Spoiler
Para probarlo falta ver que es abierta. Dado \( (a,b)\in \Bbb R \) se tiene que \( f([a,b]) \) es un intervalo cerrado \( [c,d] \) porque las funciones continuas llevan compactos en compactos y conexos en conexos.

Pero entonces \( f((a,b))=[c,d]-textsf{dos puntos} \). Como \( (a,b) \) es conexo, y \( f \) es continua \( [c,d]-textsf{dos puntos} \) tiene que ser conexo, luego la única posibilidad es \( f(a,b)=(c,d) \) y por tanto la aplicación es abierta.
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Saludos.

11 Marzo, 2020, 08:27 am
Respuesta #4

Masacroso

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Viendo de nuevo lo que acabo de hacer creo que estoy mal, porque la función \( f(x)=x^2 \) no es biyectiva y he pensado en otros ejemplos tales que las funciones sean continuas y biyectivas y en todos los casos la inversa también es continua.

Para ver si me pueden ayudar a encontrar un contraejemplo.

Por ejemplo la siguiente función \( \phi :[0,2\pi)\to S^1,\, x\mapsto (\cos x,\sin x) \) con \( S^1:=\{(x,y)\in \Bbb R ^2:x^2+y^2=1\} \). Esa función es biyectiva y continua pero al punto \( (1,0)\in S^1 \) nos podemos acercar por dos caminos distintos: desde arriba de la círcunferencia o desde abajo, acercándonos desde arriba nos acercamos a cero en el dominio de \( \phi  \), pero acercándonos desde abajo nos acercamos a \( 2\pi  \) por lo tanto \( \phi ^{-1} \) no es continua en \( (1,0) \).