[german.jablo]

1. Al hablar de \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) encuentro por todos lados que derivabilidad implica continuidad, pero que el recíproco no es cierto, porque la función puede "tener un pico". Ahora, ¿que sucede si la función tiene una discontinuidad evitable en un punto pero sus derivadas laterales son iguales? por ejemplo, la función \( f(x)=\displaystyle\frac{(x-1)^2}{x-1} \) en el punto x=1, f no es continua sin embargo por la definición de derivada entiendo que la misma existe por ser los límites laterales iguales.
incluso parece que sería cierto para funciones discontinuas evitables de salto finito, como
\( f(x)=\begin{cases} x-1 & \text{si}& x<1\\x & \text{si}& x>1\end{cases} \)
Independientemente del valor que definamos en f(1), la función no es continua, pero a mi juicio es derivable.

2. Ahora otra duda pasando a funciones de dos variables. Adjunto una imagen en la que estuve trabajando un buen tiempo.

Estoy seguro que hasta el momento está correcta, pero me gustaría saber si le puedo agregar la implicación: "existen las infinitas derivadas parciales (corregido: direccionales) de f(x,y) en (a,b) ENTONCES f(x,y) es continua en (a,b).

Supongo que la respuesta a la segunda pregunta dependerá en gran parte de la respuesta a la primera. Muchas gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

1. Al hablar de \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) encuentro por todos lados que derivabilidad implica continuidad, pero que el recíproco no es cierto, porque la función puede "tener un pico". Ahora, ¿que sucede si la función tiene una discontinuidad evitable en un punto pero sus derivadas laterales son iguales? por ejemplo, la función \( f(x)=\displaystyle\frac{(x-1)^2}{x-1} \) en el punto x=1, f no es continua sin embargo por la definición de derivada entiendo que la misma existe por ser los límites laterales iguales.
incluso parece que sería cierto para funciones discontinuas evitables de salto finito, como
\( f(x)=\begin{cases} x-1 & \text{si}& x<1\\x & \text{si}& x>1\end{cases} \)
Independientemente del valor que definamos en f(1), la función no es continua, pero a mi juicio es derivable.

Independientemente de tu juicio  , la definición de derivada dice que la función es derivable en \( x_0 \) si el siguiente límite existe:

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}\dfrac{f(x)-\color{red}f(x_0)\color{black}}{x-x_0} \)

Si no existe el valor de \( f(x_0) \) no puedes tan siquiera calcular ese límite, así que no existe el límite y la función no es derivable.

Estoy seguro que hasta el momento está correcta, pero me gustaría saber si le puedo agregar la implicación: "existen las infinitas derivadas parciales de f(x,y) en (a,b) ENTONCES f(x,y) es continua en (a,b).

Es FALSO. Aunque no es tan fácil encontrar un contrajemplo. Este:

\( f(x,y) = \begin{cases} e^{\left(-\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}\right)}&  \text{ si } xy \ne 0 \\   0 & \text{ en otro caso}\end{cases} \)

Aparece aquí:

N. Kimura and J. Burr, Discontinuous Function with Partial Derivatives Everywhere, The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 8 (Oct 1960), pp. 813-814.

Saludos.

[german.jablo]

Claro, gracias! mientras respondes lo siguiente quería que me expliques entonces si en el caso de
\( f(x)=\begin{cases} x-1 & \text{si}& x\leq{}1\\x & \text{si}& x>1\end{cases} \)

La función no es discontinua y derivable en f(1)

[Luis Fuentes]

Hola

Claro, gracias! mientras respondes lo siguiente quería que me expliques entonces si en el caso de
\( f(x)=\begin{cases} x-1 & \text{si}& x\leq{}1\\x & \text{si}& x>1\end{cases} \)

La función no es discontinua y derivable en f(1)

Discontinua si, claro.

Pero para que fuese derivable debería de existir el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to 1}{}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1}{}\dfrac{f(x)-0}{x-1} \)

Tal límite por la derecha:

\( \displaystyle\lim_{x \to 1^+}{}\dfrac{f(x)-0}{x-1}=\displaystyle\lim_{x \to 1^+}{}\dfrac{x-0}{x-1}=+\infty \)

¡No existe!.

Saludos.

[german.jablo]

Luis, no tengo acceso al artículo. Pero por el título dice que tiene todas sus derivadas parciales, lo cual según la imagen que adjunté no es necesariamente equivalente a infinitas derivadas direccionales. Cuando escribí mi pregunta me equivoqué, quise poner infinitas derivadas direccionales (no parciales, que por cierto no son infinitas). ¿Sabes si esa función de ejemplo cumple la condición o alguna otra? Disculpa las molestias.

[Luis Fuentes]

Hola

Luis, no tengo acceso al artículo. Pero por el título dice que tiene todas sus derivadas parciales, lo cual según la imagen que adjunté no es necesariamente equivalente a infinitas derivadas direccionales. Cuando escribí mi pregunta me equivoqué, quise poner infinitas derivadas direccionales (no parciales, que por cierto no son infinitas). ¿Sabes si esa función de ejemplo cumple la condición o alguna otra? Disculpa las molestias.

Ah, pensé que te referías a que existían las infinitas derivadas parciales (primeras derivadas parciales, segundas derivadas parciales, terceras derivadas parciales, etcétera...)

Lo otro es igualmente falso y es más fácil dar un contraejemplo:

\( f(x,y)=\begin{cases} 1 & \text{ si } x=y^2\text { e }x\neq 0\\0 & \text{ en otro caso}\end{cases} \)

En el \( (0,0) \) existe todas las derivadas direccionales y son nulas, pero la función no es continua en este punto.

Saludos.

P.D. Adjunto tienes el pequeño artículo

[german.jablo]

Todo impecable. Muchas gracias!