[Rashed]

Hola buenas tardes, he estado buscando en el foro y no puedo encontrar algo que me ayude para la siguiente demostracion (Se que lo hay, estoy seguro pero filtrando las busquedas tampoco puedo verlo, quizas se me este pasando).
Mi problema es el siguiente, me encuentro preparando para un examen final y mi idea es demostrar las 3 clausulas de una topologia, es decir:
1) X y Vacio Pertenecen a T
2) La union de elementos (finita o infinita) de T pertenece a T,
3) La interseccion finita de elemntos de T, esta en T.

Mi idea es partir por demostrar que la union de todos los elementos es abierta, y que estos estan en T.
A su vez quiero demostrar que la interseccion finita de elemntos es abierta y esta en T, lo mismo con la interseccion infinita, que ahi ya es otro caso.

Un subconjunto\(  A\subset{R} \) es abierto si:
\( \forall{x\in{Ai}},\exists{D(x,r)}/ D(x,r)\subset{A} \)


Dados Ai, Aj abiertos.
Sea\(  x\in{Ai}\cup{Aj}=>x\in{Ai}\vee x\in{Aj}. \) Supongo que pertenece a Aj.
Como Aj es abierto =>\(  \exists{D(x,r)}\subset{Aj} =>D(x,r)\subset{A}\subset{A\cup{B}} \)
 
Mi problema esta en la parte final, porque ya que esta incluido en la union esta incluido en A o esta incluido en B, y ya entro en un bucle de nuevo. Creo que la parte final esta muy relacionada con la definicion de abierto, pero el int (A)=D(x,r)CA y la otra parte incluida en la union?

[Masacroso]

Hola buenas tardes, he estado buscando en el foro y no puedo encontrar algo que me ayude para la siguiente demostracion (Se que lo hay, estoy seguro pero filtrando las busquedas tampoco puedo verlo, quizas se me este pasando).
Mi problema es el siguiente, me encuentro preparando para un examen final y mi idea es demostrar las 3 clausulas de una topologia, es decir:
1) X y Vacio Pertenecen a T
2) La union de elementos (finita o infinita) de T pertenece a T,
3) La interseccion finita de elemntos de T, esta en T.

Mi idea es partir por demostrar que la union de todos los elementos es abierta, y que estos estan en T.
A su vez quiero demostrar que la interseccion finita de elemntos es abierta y esta en T, lo mismo con la interseccion infinita, que ahi ya es otro caso.

Un subconjunto\(  A\subset{R} \) es abierto si:
\( \forall{x\in{Ai}},\exists{D(x,r)}/ D(x,r)\subset{A} \)


Dados Ai, Aj abiertos.
Sea\(  x\in{Ai}\cup{Aj}=>x\in{Ai}\vee x\in{Aj}. \) Supongo que pertenece a Aj.
Como Aj es abierto =>\(  \exists{D(x,r)}\subset{Aj} =>D(x,r)\subset{A}\subset{A\cup{B}} \)
 
Mi problema esta en la parte final, porque ya que esta incluido en la union esta incluido en A o esta incluido en B, y ya entro en un bucle de nuevo. Creo que la parte final esta muy relacionada con la definicion de abierto, pero el int (A)=D(x,r)CA y la otra parte incluida en la union?

No sé exactamente qué confusión tienes pero si \( x\in A\cup B \) entonces \( x\in A \) ó \( x\in B \), que es exactamente lo que significa el símbolo \( \cup  \). Entonces, sin pérdida de generalidad, puedes suponer que \( x\in A \) (sin pérdida de generalidad significa aquí que si \( x\in B \) la demostración es la misma), por tanto si \( A \) es abierto entonces existe un \( r>0 \) tal que \( \Bbb B (x,r)\subset A \), lo que automáticamente implica que \( \Bbb B (x,r)\subset (A\cup B) \), así que \( x \) es un punto interior de \( A\cup B \), y como se cumple para cualquier \( x \) que elijamos entonces todos los puntos de \( A\cup B \) son abiertos así que \( A\cup B \) es abierto.

Pero ojo: no te basta con demostrar que si \( A \) y \( B \) son abiertos entonces \( A\cup B \) también lo es: para demostrar que \( T \) es una topología tienes que demostrar que la unión de un número arbitrario de abiertos es abierta, pero eso se hace como antes, es decir, supongamos que \( \{A_y: y\in I\} \) es una familia de abiertos, entonces tienes que demostrar que \( A:=\bigcup_{y\in I}A_y \) es abierto. Para eso hacemos algo semejante a lo anterior, es decir, si \( x\in A \) entonces existe un \( y_0\in I \) tal que \( x\in A_{y_0} \) por lo que deducimos como antes que \( y \) es un punto interior de \( A \), y como \( y \) fue elegido arbitrariamente entonces todos los puntos de \( A \) son interiores, es decir, \( A \) es abierto.

[Rashed]

Claro pero siguiendo ese ejemplo la confucion que tengo es que se puede generalizar tomando una union y siempre aplicando el mismo procedimiento como pertenece a A, entonces hay un disco ....
Pero no necesariamente la union de dos abiertos es abiertos y eso es lo que quiero demostrar basta con decir:

X={a,b,c,d,e} ; T1={X, Vacio, {a}} y T2={X,Vacio,{b}}
En eso estoy diciendo que x es abierto, vacio es abierto, a es abierto y b es abierto pero si uno las topologias.
T1UT2 ={X, Vacio, {a} , {b}} claro mientras lo escribia creo que me di cuenta, la union esa si es abierta, pero no es una topologia, son dos cosas diferente verdad?

[Masacroso]

Claro pero siguiendo ese ejemplo la confucion que tengo es que se puede generalizar tomando una union y siempre aplicando el mismo procedimiento como pertenece a A, entonces hay un disco ....
Pero no necesariamente la union de dos abiertos es abiertos y eso es lo que quiero demostrar basta con decir:

X={a,b,c,d,e} ; T1={X, Vacio, {a}} y T2={X,Vacio,{b}}
En eso estoy diciendo que x es abierto, vacio es abierto, a es abierto y b es abierto pero si uno las topologias.
T1UT2 ={X, Vacio, {a} , {b}} claro mientras lo escribia creo que me di cuenta, la union esa si es abierta, pero no es una topologia, son dos cosas diferente verdad?

¿Y esto que relación tiene con tu pregunta original? La unión de dos topologías diferentes en general no es una topología. Pero si no he entendido mal tu pregunta original es demostrar que una determinada colección de conjuntos llamada T es una topología, he intuido que la colección de conjuntos que quieres demostrar que es una topología es la unión arbitraria de bolas abiertas en un espacio métrico (creo que \( \Bbb R ^2 \), ¿me equivoco?) En cualquier caso aclara la pregunta original, ¿qué colección de conjuntos quieres demostrar que es una topología?

[Rashed]

Creo que de ahi mi confucion, estoy mezclando cosas diferentes y por eso no puedo terminar de demostrar (2), y (3). EL problema esta en que si tengo que demostrar para un finito, también lo debería de hacer para un infinito dado que es común preguntarse "porque aclara que tienen que ser finitos".