Hola buenas tardes, he estado buscando en el foro y no puedo encontrar algo que me ayude para la siguiente demostracion (Se que lo hay, estoy seguro pero filtrando las busquedas tampoco puedo verlo, quizas se me este pasando).
Mi problema es el siguiente, me encuentro preparando para un examen final y mi idea es demostrar las 3 clausulas de una topologia, es decir:
1) X y Vacio Pertenecen a T
2) La union de elementos (finita o infinita) de T pertenece a T,
3) La interseccion finita de elemntos de T, esta en T.
Mi idea es partir por demostrar que la union de todos los elementos es abierta, y que estos estan en T.
A su vez quiero demostrar que la interseccion finita de elemntos es abierta y esta en T, lo mismo con la interseccion infinita, que ahi ya es otro caso.
Un subconjunto\( A\subset{R} \) es abierto si:
\( \forall{x\in{Ai}},\exists{D(x,r)}/ D(x,r)\subset{A} \)
Dados Ai, Aj abiertos.
Sea\( x\in{Ai}\cup{Aj}=>x\in{Ai}\vee x\in{Aj}. \) Supongo que pertenece a Aj.
Como Aj es abierto =>\( \exists{D(x,r)}\subset{Aj} =>D(x,r)\subset{A}\subset{A\cup{B}} \)
Mi problema esta en la parte final, porque ya que esta incluido en la union esta incluido en A o esta incluido en B, y ya entro en un bucle de nuevo. Creo que la parte final esta muy relacionada con la definicion de abierto, pero el int (A)=D(x,r)CA y la otra parte incluida en la union?