Autor Tema: [Duda] Condición independencia de variables derivadas de la normal bivariante.

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03 Marzo, 2020, 05:58 pm
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JorgeFC

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Estoy intentando resolver el siguiente ejercicio:

"Sea (X,Y) una normal bivariante y se definen las nuevas variables aleatorias Z = X + Y  ; W = X - Y. Determine la condición necesaria y suficiente para que Z y W sean variables aleatorias independientes."

Mi resolución sería la siguiente:

Z,W indeps \( \Longleftrightarrow{} E[Z*W] = E[Z]E[W] \Longleftrightarrow{} E[X^2 - Y^2] = E[X+Y]*E[X-Y] \Longleftrightarrow{} \) X,Y indeps

No me convence el salto que he dado en el último razonamiento, ¿sería correcto o hay algún error? Aun siendo correcto me gustaría "refinarlo" de alguna manera si fuera posible.

Muchas gracias y un saludo.

04 Marzo, 2020, 12:06 am
Respuesta #1

geómetracat

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Hasta el último paso es correcto, pero el último paso no lo es. De hecho la condición necesaria y suficiente para que \( Z,W \) sean independientes no es que \( X,Y \) lo sean.

Lo que haría yo es calcular \( Cov(Z,W) \) y ver cuándo es cero, teniendo en cuenta que \( (Z,W) \) siguen una distribución normal bivariante y en esas condiciones son independientes si y solo si tienen covarianza cero.

De todas formas, siguiendo como lo has hecho tú, la última igualdad la puedes reescribir como
\( E(X^2) - E(Y^2) = (E(X) + E(Y))(E(X)-E(Y)) = E(X)^2 - E(Y)^2 \)
Reordenando tienes que \( E(X^2)-E(X)^2 = E(Y^2)-E(Y)^2 \), es decir, que \( Var(X)=Var(Y) \). Y esta es la condición necesaria y suficiente que te piden.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Marzo, 2020, 10:23 am
Respuesta #2

JorgeFC

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Muchas gracias por tu respuesta.
De todas formas, ¿es relevante el dato de que (X,Y) sean una normal bivariante? Entiendo que dadas dos variables aleatorias cualesquiera X,Y este razonamiento sería genérico, ¿o se utiliza alguna propiedad en la que no me estoy fijando?

04 Marzo, 2020, 10:38 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias por tu respuesta.
De todas formas, ¿es relevante el dato de que (X,Y) sean una normal bivariante? Entiendo que dadas dos variables aleatorias cualesquiera X,Y este razonamiento sería genérico, ¿o se utiliza alguna propiedad en la que no me estoy fijando?

Si dos variables son independientes su covarianza es cero; pero en general el recíproco no es cierto. Dos variables pueden tener covarianza nula pero NO ser independientes.

En el caso de una normal bivariante si se tiene la doble implicación: sus componentes son independientes si y sólo si la covarianza es nula.

Saludos.