Autor Tema: Integral de Lebesgue

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29 Febrero, 2020, 07:24 am
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juanc

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Hola espero su ayuda en lo siguiente:

Demuestre que \( \displaystyle\frac{8}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty}\displaystyle x^2\sum _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{k-1}{k}^{2}\mathrm{exp}\left\{-{\frac{k^{2}x^{2}}{2}}\right\}dx= 4ln2 \), \( \left(x\ge 0\right). \)

29 Febrero, 2020, 10:37 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola espero su ayuda en lo siguiente:

Demuestre que \( \displaystyle\frac{8}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty}\displaystyle x^2\sum _{k=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{k-1}{k}^{2}\mathrm{exp}\left\{-{\frac{k^{2}x^{2}}{2}}\right\}dx= 4ln2 \), \( \left(x\ge 0\right). \)

Primero observa que

\( \displaystyle{
\int_{0}^\infty (kx)^2e^{-(kx)^2/2}\,\mathrm d x=\overbrace{-xe^{-(kx)^2/2}\big|_0^\infty}^{=0} +\int_{0}^\infty e^{-(kx)^2/2}\,\mathrm d x=\frac1{2}\sqrt{\int_{\Bbb R^2 }\exp\left(-\frac{k^2}{2}(x^2+y^2)\right)\,\mathrm d (x,y)}\\
=\frac1{2}\sqrt{2\pi\int_{0}^\infty r\exp\left(-\frac{k^2}{2}r^2\right)\,\mathrm d r}=\frac1{2}\sqrt{2\pi\frac1{k^2}\exp\left(-\frac{k^2}{2}r^2\right)\big|_{\infty }^0}=\frac{\sqrt{2\pi}}{2k}
} \)

donde en la segunda igualdad he usado el viejo truco de \( \int_{\Bbb R }f(x)\,\mathrm d x=\sqrt{\int_{\Bbb R ^2}f(x)f(y)\,\mathrm d (x,y)} \). Sin embargo no encuentro un argumento claro para intercambiar la suma y la integral y hallar el resultado buscado (no veo una forma de aplicar el teorema de convergencia dominada o el de convergencia monótona).

EDICIÓN: una idea: definimos \( s_n(x):=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}c_k(x) \) y \( s(x):=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}c_k(x) \) para \( c_k(x):=(xk)^2 e^{-(kx)^2/2} \), entonces para un valor de \( x \) fijo la sucesión \( (s_{2n+1}(x)) \) es eventualmente decreciente al valor de la serie, es decir, existe un \( N_x\in \Bbb N  \) tal que \( (s_{2n+1}(x))_{n\geqslant N_x} \) decrece a \( s(x) \).

Un vistazo a la gráfica de \( c_1 \) nos muestra que alcanza el máximo cuando \( x=\sqrt 2 \), por tanto podemos intercambiar la suma y la integral en la región \( [\sqrt 2,\infty ) \) ya que allí la sucesión \( (s_{2n+1}(x)) \) decrece para todo \( x \) a \( s(x) \), por lo que sólo nos quedaría por mostrar que podemos intercambiar la suma y la integral en \( [0,\sqrt 2] \).