Autor Tema: Demostración del período del movimiento armónico simple

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26 Febrero, 2020, 11:45 am
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Marcos Castillo

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Hola, he estado viendo un vídeo que demuestra que el período del movimiento armónico simple es \( T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} \). Las dudas son:
- el paso en el que iguala \( mg=F=Kx \). Entiendo que tiene que ser para ángulos muy pequeños, pero no veo la relación de igualdad entre el peso de la lenteja y la ley de Hooke cómo se justifica. Además ubico \( mg \) en el plano cartesiano, y \( kx \) en el eje de abscisas.
- cuando apela la segunda ley de Newton para escribir \( ma=kx \). Esto puesto de manera más familiar para mí es \( \sum{F_x}=ma_x-kx=0 \), siendo este sumatorio la proyección del m.a.s. sobre el eje de abscisas, pero de nuevo no veo la igualdad. Para seguido decir \( a=\omega^2x \). Esta última fórmula no la veo en mis dos libros de texto. ¿De dónde sale?.

Perdón por tanto cacao conceptual

https://www.youtube.com/watch?v=553kJzYZ-BE
 
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

26 Febrero, 2020, 01:29 pm
Respuesta #1

feriva

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  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Hola, he estado viendo un vídeo que demuestra que el período del movimiento armónico simple es \( T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} \). Las dudas son:
- el paso en el que iguala \( mg=F=Kx \). Entiendo que tiene que ser para ángulos muy pequeños, pero no veo la relación de igualdad entre el peso de la lenteja y la ley de Hooke cómo se justifica. Además ubico \( mg \) en el plano cartesiano, y \( kx \) en el eje de abscisas.
- cuando apela la segunda ley de Newton para escribir \( ma=kx \). Esto puesto de manera más familiar para mí es \( \sum{F_x}=ma_x-kx=0 \), siendo este sumatorio la proyección del m.a.s. sobre el eje de abscisas, pero de nuevo no veo la igualdad. Para seguido decir \( a=\omega^2x \). Esta última fórmula no la veo en mis dos libros de texto. ¿De dónde sale?.

Perdón por tanto cacao conceptual

https://www.youtube.com/watch?v=553kJzYZ-BE
 
¡Un saludo!

Hola, Marcos.

No hace \( mg=kx
  \), hace \( mg\cdot sen(\theta)=kx
  \). Lo otro no puede ser, porque mg es una constante (la masa y la “g”), por tanto, al ser “x” variable, “k” debería variar para mantener el producto constante; no iguala eso.

Entonces no te preocupes con la ley de Hooke, no tiene demasiado que ver, simplemente si \( mg\cdot sen(\theta)
  \) da un valor variable (porque el ángulo varía con la oscilación); y así, para los valores de de “x”, (que es variable también) existe una constante “k” tal que \( mg\cdot sen(\theta)=kx
  \), dado que el seno involucra a x (y en realidad, dibujada “x” en un círculo en el primer cuadrante, sería el cateto “y”, no “x”, pero es una letra y da igual; aunque quizá pueda despistar). Es decir, \( sen(\theta)=\dfrac{x}{l}
  \). por lo que si sustituyes y despejas verás que k es constante, ya que “x” se cancela y “l” es constante también, es la longitud de la cuerda:

\( mg\cdot sen(\theta)=kx\Rightarrow
  \)

\( mg\cdot\dfrac{x}{l}=kx\Rightarrow
  \)

\( \dfrac{mg}{l}=k
  \); constante dividida de constante, pues es constante. Luego esa “k” existe, que es lo que importa, sea de Hooke o de Hook (el capitán Garfio) simplemente está poniendo la fuerza en función de “x”.

En cuanto a la velocidad angular, es la velocidad a la que se “abre” al ángulo al oscilar la bolita. Si da una vuelta entera, es un periodo T, y, por tanto, la velocidad angular cuando se cumple el tiempo del periodo es \( w=\dfrac{2\pi}{T}
  \); lo cual usa para sustituir.

Saludos.

26 Febrero, 2020, 03:03 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Hola, feriva!. ¡Supersencillo!. ¡Qué respuesta!. Has resuelto todo de un plumazo.  :aplauso: :laugh:
¡Un saludo cordial!. ¡Sigo adelante!. ¡Gracias!
No man is an island (John Donne)

26 Febrero, 2020, 03:05 pm
Respuesta #3

Marcos Castillo

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¡Hola, feriva!. ¡Supersencillo!. ¡Qué respuesta!. Has resuelto todo de un plumazo.  :aplauso: :laugh:
¡Un saludo cordial!. ¡Sigo adelante!. ¡Gracias!
No man is an island (John Donne)

27 Febrero, 2020, 09:25 am
Respuesta #4

feriva

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¡Hola, feriva!. ¡Supersencillo!. ¡Qué respuesta!. Has resuelto todo de un plumazo.  :aplauso: :laugh:
¡Un saludo cordial!. ¡Sigo adelante!. ¡Gracias!

De nada, Marcos, me alegro de que haya servido.

Saludos.