Autor Tema: ¿Es infinita la Espiral de Kepler?

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25 Febrero, 2020, 03:47 pm
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MasLibertad

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Hola de nuevo.
Acabo de publicar un artículo sobre órbitas planetarias, y en él describo y explico algunas propiedades de La Espiral de Kepler.

Para poder dibujarla he desarrollado esta fórmula:
\( A=T*\sqrt{\dfrac{M*G}{d^3}} \)
que para un tiempo determinado y constante, permite calcular, en radianes, el ángulo de una órbita recorrido por un planeta a una distancia dada.
La fórmula inversa
\( d=\sqrt[ 3]{\dfrac{M*G*T^2}{A^2}} \)
permite calcular la distancia a partir del ángulo.
Con ellas he creado la espiral de Kepler, que al contrario de otras espirales, da infinitas vueltas hacia dentro pero finitas hacia afuera. Y en la última vuelta prácticamente se convierte en una recta.
Infinitas Vueltas no significa, necesariamente, una longitud infinita. En la espiral logarítmica, desde un metro de distancia se dan infinitas vueltas hacia adentro, pero la longitud de la espiral es finita e igual al Radio dividido por el coseno del ángulo de la espiral con el radio. O el Coseno de 90 menos el Grado de la espiral.
\( L=\dfrac{R}{cos(90-G)} \)
Ante esto tengo dos dudas, que ya se escapan de mis conocimientos.
  • Desde un punto de la espiral de Kepler hacia dentro hay infinitas vueltas. La longitud ¿es infinita?
  • La última vuelta de la espiral hacia afuera da la impresión de que llega a desviarse, que pasa de girar a la derecha a girar a la izquierda, pero razonando que la Espiral de Kepler es igual a una espiral logarítmica de Grado ascendente, por mucho que el grado tienda a 90, nunca lo alcanzará, así que debería ser siempre una curva a la derecha, y nunca debería cruzar su tangente. ¿Podéis confirmarme si es así, que la curva siempre gira a la derecha, aunque cada vez menos?
Siempre hay un medio si el Valor va unido a la Inteligencia
Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

25 Febrero, 2020, 04:47 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Te podría contestar a los dos preguntas si explicases que es cada cosa en la fórmula que define la espiral. En general si tienes una parametrización \( \gamma:[0,1]\to \Gamma   \) de una curva \( \Gamma  \) entonces su longitud viene dada por la integral \( \int_0^1 |\gamma '(t)|\,\mathrm d t \). Igualmente, intuitivamente, si la espiral da infinitas vueltas y el radio ínfimo de las vueltas es positivo entonces la longitud debe ser infinita.

Para la segunda parte, de nuevo intuitivamente, una curva con una fórmula sencilla (como parece ser ésta) seguramente tenga una convexidad permanente y decreciente a cero en tanto nos movemos hacia fuera de la espiral. Entonces habría que ver si al movernos hacia fuera por la espiral la curva tiende a un punto concreto del espacio o, por el contrario, sigue girando indefinidamente.

26 Febrero, 2020, 09:49 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Las ecuaciones paramétricas de tu curva parecen ser:

\(  (x(t),y(t))=(-r(t)sin(t),r(t)cos(t)) \)  con \( r(t)=\dfrac{cte}{t^{2/3}} \)

 Por tanto (y por comodidad tomo \( cte=1 \), ya que es simplemente un factor de escala):

\( \|r'(t)\|=\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{4+9t^2}}{t^{5/3}} \)

 Entonces la integral:

\(  \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty}\|r'(t)\|dt \)

NO converge (es infinita) porque \( \|r'(t)\| \) cuando \( t\to \infty \) es del orden de \( t^{-2/3} \). Es decir la longitud de esas infinitas vueltas es infinita.

 En cuanto a la segunda pregunta el sentido de giro depende de la curvatura con signo de la misma; equivalentemente del signo de:

\( det\begin{pmatrix}{x'(t)}&{y'(t)}\\{x''(t)}&{y''(t)}\end{pmatrix}=\dfrac{9t^2-2}{9t^{10/3}} \)

 Vemos que para \( 9t^2-2=0 \) es decir para \( t=\sqrt{2}/3 \) hay un cambio de signo.

Saludos.



27 Febrero, 2020, 07:30 am
Respuesta #3

MasLibertad

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Te podría contestar a los dos preguntas si explicases que es cada cosa en la fórmula que define la espiral.
Perdona que no lo haya hecho, pero creí que estaba bastante claro en el artículo que publiqué. Pero por si no lo has leído, te lo aclaro:

T es un tiempo constante, el mismo para toda la curva, y es el tiempo que un planeta determinado tarda en realizar una órbita completa a una distancia base. En el gráfico, sería el primer planeta. En la curva, ese planeta estaría situado justo donde se cruza por primera vez el eje vertical del dibujo.
M es la masa de la estrella alrededor de la cual orbitan los planetas.
G es la Constante de Gravitación Universal
d es la distancia de un planeta cualquiera a la estrella
Y el resultado, A es el ángulo de la órbita que ha recorrido cada planeta.

Citar
... intuitivamente, si la espiral da infinitas vueltas y el radio ínfimo de las vueltas es positivo entonces la longitud debe ser infinita.
No sé lo que es el Radio Infimo, pero entiendo que una sucesión infinita de vueltas cada vez más pequeñas no tiene que tener, necesariamente, una longitud infinita. Una espiral logarítmica, por ejemplo, da infinitas vueltas hacia dentro, pero su longitud es finita, igual a \( L=\frac{R}{cos(90-G)} \).
Te lo explico, la Longitud de una Espiral Logarítmica, desde un punto determinado hacia adentro, es igual al Radio de ese punto dividido entre el coseno del ángulo complementario del Grado de la espiral.
Pero en esta curva no sé si infinitas vueltas hacia adentro se traducirá en una longitud infinita o finita.
Y mis conocimientos matemáticos son apenas suficientes para combinar fórmulas y despejar variables, no conozco herramientas matemáticas que me permitan averiguarlo.

Citar
Para la segunda parte, de nuevo intuitivamente, una curva con una fórmula sencilla (como parece ser ésta) seguramente tenga una convexidad permanente y decreciente a cero en tanto nos movemos hacia fuera de la espiral. Entonces habría que ver si al movernos hacia fuera por la espiral la curva tiende a un punto concreto del espacio o, por el contrario, sigue girando indefinidamente.
Debido a que la fórmula está basada en el movimiento de los planetas alrededor de una estrella, la curva hacia fuera nunca podrá atravesar el eje del dibujo. Tiende a la línea recta a una distancia infinitesimal del eje, pero no lo alcanzará hasta que tenga una longitud infinita.
Lo que yo me preguntaba es si la curva, que siempre está girando hacia la derecha, en algún momento cambiaba y se desviaba a la izquierda.
Hasta esta mañana yo pensaba que no, que la curva sería como una espiral logarítmica de grado creciente, tendiendo a 0 (circunferencia) hacia dentro y a 90 (radio) hacia fuera, pero sin llegar a alcanzarlos nunca.
Pero entre que me he despertado y me he levantado he estado un rato dándole vueltas al tema y me he dado cuenta de que no es posible, que si la curva, tal como se ve en el dibujo, se acerca al eje, y luego nunca lo alcanza, en algún momento DEBE girar a la izquierda, en cuyo caso su grado sería mayor que 90.
No lo sé, aún me falta madurar esto un poco, por eso os pido ayuda de vez en cuando.

Gracias.
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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

27 Febrero, 2020, 08:13 am
Respuesta #4

MasLibertad

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NO converge (es infinita) porque .... Es decir la longitud de esas infinitas vueltas es infinita.

Esto sí que es una respuesta clara, sí señor.  :aplauso:
La verdad, como sabes, no domino las matemáticas al nivel que vosotros tenéis, y la mayoría de las veces me pierdo en vuestras fórmulas, por eso me encanta que algunos de vosotros complementen las matemáticas con textos y explicaciones bastante claras.
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En cuanto a la segunda pregunta el sentido de giro depende de la curvatura con signo de la misma; equivalentemente del signo de:
\( det\begin{pmatrix}{x'(t)}&{y'(t)}\\{x''(t)}&{y''(t)}\end{pmatrix}=\dfrac{9t^2-2}{9t^{10/3}} \)
Vemos que para \( 9t^2-2=0 \) es decir para \( t=\sqrt{2}/3 \) hay un cambio de signo.

Saludos.
:aplauso: No sé el tiempo que has tardado en resolver ésto pero para mí ha estado muy bien empleado.
Es decir, que a una determinada distancia, la espiral, que siempre hasta ahora ha girado a la derecha, empieza a girar a la izquierda. Con ello me has confirmado lo que me ha estado planteando dudas desde que publiqué el artículo.
De nuevo, gracias.

Y, por cierto, también quiero darte las gracias por la inestimable ayuda que me diste en mi primera pregunta al foro, en 2014, al hablarme sobre la Coordenadas Polares, que hasta entonces no conocía.
Desde entonces he aprendido a usarlas, básicamente, pero lo bastante para haber hecho varios programillas de dibujo interesantes. Por poner un par de ejemplos:
Calcular el valor de PI por el Método de Arquímedes.
http://www.maslibertad.com/Calcular-el-Numero-PI-por-el-Metodo-de-Arquimedes_p1530.html
La Espiral Logarítmica
http://www.maslibertad.com/Matematicas-Dibuja-Espiral-Logaritmica_p1542.html

Ahora mismo estoy programando otro par de scripts de dibujo geométrico y usando las coordenadas polares resulta muchísimo más fácil de lo que yo creía.

Y otra vez (que nunca serán bastantes) Gracias.

Juan
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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

01 Marzo, 2020, 03:06 am
Respuesta #5

Richard R Richard

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Hola MasLibertad... estuve hojeando no solo este hilo , sino también  el link que propones donde te explayas con tu proyecto.

Cuando Hablas de fuerza centrífuga, no es muy científico que digamos expresar esa ecuación con ese nombre, en realidad debes hablar de Fuerza Centrípeta, pues los cambios de dirección de tu partícula de prueba, se deben a la atracción hacia el centro la Masa M, siempre esta tira hacia ella, en dirección al centro de giro,  es decir la fuerza va hacia el centro, y para nada se esta "fugando" de la estrella en sentido contrario. La fuerza centrífuga es un concepto, una fuerza ficticia que aparece en sistemas de referencias acelerados, para explicar el sentido de las aceleraciones observadas. En la teoría newtoniana, en sistemas de referencia inerciales es correcto hablar de fuerza centrípeta.

Por otro lado, si bien te explican que para tiempo infinito, la longitud recorrida es infinita y tu radio se va volviendo nulo, pero físicamente esto es imposible, pues tu astro ,estrella, planeta o lo que fuere de masa M tiene un radio hasta su superficie mayor que cero, es decir no es una masa puntual, luego en un tiempo finito, el radio de la espiral será igual al radio de la superficie de la estrella, y habrá contacto entre ellos, un choque diríamos, y allí acabará la espiral.

Como se explica entonces la conservación de la energía y porque todos los sistemas estarían condenados a ese choque, pues bien,  revolución ha revolución, los planetas, estrellas, etc, sufren fuerzas de marea, se deforman en cierto modo sobre si mismos, al deformarse tienen fricción interna, la cual crea calor y el calor se pierde como radiación hacia el espacio circundante, luego un sistema binario estrella planeta, pierde todo el trabajo de acercamiento de la fuerza gravitatoria por disipación por fuerza de marea, y por creación de ondas gravitacionales, que deforman el espacio tiempo, esto es muy complejo de explicar en pocas líneas, pero de allí que en ves de tener una circunferencia de radio constante o una elipse, cuyos semiejes se conserven en dimensiones, tienes o bien una espiral como propones, pero hacia el exterior con radios cada vez mayores o una elipse con precesión del perihelio como sucede en los casos de acuerdo a la teoría de la relatividad, la cual se alejan, porque la luna por ejemplo al girar más lento requiere una órbita de equilibrio de un radio cada vez mayor. A la vez en el sistema tierra luna, sucede que esa fuerza de fricción, ha hecho que la tierra rote más lento, que los días pasen de 18.41 hs a las 24 actuales y que la luna se aleje 3.85 cm cada año. Cuando el efecto de marea se menor que la perdida por ondas gravitacionales , la órbita se hará mas pequeña hasta el choque, como sucede con los agujeros negros,
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

01 Marzo, 2020, 08:19 am
Respuesta #6

MasLibertad

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Hola, Richard

Cuando Hablas de fuerza centrífuga, no es muy científico que digamos expresar esa ecuación con ese nombre, en realidad debes hablar de Fuerza Centrípeta...
Tienes razón, la Fuerza Centrífuga no existe, ni la Fuerza de Coriolis ni muchos efectos que son la resultante de otros fenómenos físicos. Pero en mis artículos intento llegar a un compromiso entre el rigor científico y la comprensibilidad.
TODO el mundo sabe lo que es la Fuerza Centrífuga, yo lo experimenté de pequeño en el tíovivo y cada vez que venía de la vaquería con la cántara de leche.
En cambio, si hablo de Fuerza Centrípeta, la mitad de la gente se queda ojiplática.
De ahí que en mis páginas prefiero usar un lenguaje que sea comprensible para la mayoría de la gente, y sabiendo que los más versados científicos sabrán entenderlo y comprender que se trata de licencias, no de falta de rigor científico.

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Por otro lado, si bien te explican que para tiempo infinito, la longitud recorrida es infinita y tu radio se va volviendo nulo, pero físicamente esto es imposible, pues tu astro ,estrella, planeta o lo que fuere de masa M tiene un radio hasta su superficie mayor que cero, es decir no es una masa puntual, luego en un tiempo finito, el radio de la espiral será igual al radio de la superficie de la estrella, y habrá contacto entre ellos, un choque diríamos, y allí acabará la espiral.
Cierto. Yo parto de una situación más o menos hipotética pero realista del mundo físico: una estrella y una serie de planetas a distancias regulares.
A continuación deduzco las fórmulas matemáticas que permiten calcular la posición de los planetas en función de la distancia en un tiempo determinado, el mismo para todos los planetas. Las posiciones finales, unidas por todas las posiciones intermedias, definen una curva que, prolongada al interior se convierte en la Espiral de Kepler.
Evidentemente, en el mundo físico real donde las estrellas y planetas tienen tamaños, la curva terminaría allí donde se junten las superficies de ambos cuerpos, pero en el mundo matemático ideal en el que los cuerpos son puntos matemáticos, la espiral daría infinitas vueltas hacia el interior, llegando a distancias infinitesimales del centro, pero sin nunca alcanzarlo.
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Como se explica entonces la conservación de la energía ... fuerzas de marea ... fricción interna ... calor ... radiación ... ondas gravitacionales ... etc
Todos esos son fenómenos físicos que alterarán los resultados de lo predicho por las matemáticas, pero aquí yo me centro en el mundo matemático ideal. Lo mismo que cuando calculo la caída de los cuerpos no tengo en cuenta la resistencia del aire ni la posición de la Luna y el Sol, que también alterarían el resultado de la ecuación de Newton.

En realidad, si he desarrollado esas fórmulas y programado una calculadora JavaScript para dibujar los gráficos es porque tengo intención de publicar varios artículos más sobre la Gravedad y las Órbitas, y las fórmulas que iba a necesitar no las encontré, así que tuve que desarrollarlas. Seguro que alguien las ha desarrollado antes que yo, pero, o no las ha publicado o, si lo ha hecho, yo no las he encontrado. Y además, aunque las hubiera encontrado en internet, también hubiera estudiado cómo se desarrollaban.
En fin, aún me quedan un par de meses, por lo menos, para terminar mis proyectos, si no me estanco, porque ya es la segunda vez que lo intento. Ya veremos.

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... o una elipse con precesión ...

¡Osti, tú! ¡Qué idea más buena!
Ahora mismo me pongo a ello.
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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

01 Marzo, 2020, 11:17 am
Respuesta #7

Richard R Richard

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Entiendo. Bajar a nivel divulgativo, requiere de ciertas licencias narrativas. Bien , como puesto en tiquismiquis de turno, te trataba de dar información sobre el limite físico que las formulas matemáticas no reflejan.Luego siendo puntilloso, evaluar si es necesario describir ese tipo de limites.

Menuda tarea te propones con las elipses...
Te dejo algunos nombres propios de fenómenos físicos que probablemente ya conozcas, para que busques el formulario que mas se aproxime a la realidad.
Ejemplo la curva que nombre como elipse con precesión, es en realidad una geodesia de espacio tiempo, no hace falta estudiar la relatividad general de Einstein, para llegar a buenas aproximaciones.
Recuerda que el ángulo de precesión, el que marca cuanto avanzan los semiejes de la elipse, es mayor cuanto mas se aproxima la masa de prueba a la estrella y cuanto mas masa tenga la estrella.
Puedes simplificar con que ese ángulo crece a tasa constante con el tiempo.
Hay muchos sitio que con mayor o menor rigor explican la precesión de mercurio respecto al sol.
También te puede interesar hojear papers sobre como Sagitario A el agujero negro supermasivo ubicado en el centro de la vía láctea, hace preceder pronunciada mente las orbitas de las estrellas S2 y S62.
Como anécdota ,si bien la mayoría son correctos  no todos los papers aportan resultados correctos, respetando las mismas formulas que proponen...
Haciendo ese ejercicio de abogado del diablo, en otros foro de física "hemos" hallado mas de uno, y contactado con los autores .
En la wikipedia tienes información sobre como construir la elipse en forma paramétrica, de allí puede jugar con el avance angular.
Busca información sobre lo que estudia el  El interferómetro óptico GRAVITY del Very Large Telescope.

Como se calcula el ángulo puedes leerlo en artículos como este https://arxiv.org/abs/0712.3709

Que te diviertas divulgando y no olvides mostrarnos como queda.



Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

01 Marzo, 2020, 03:34 pm
Respuesta #8

MasLibertad

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Menuda tarea te propones con las elipses...
Lo dices como si fuera difícil, pero no me parece que lo sea tanto.
De momento, esta mañana he programado el formulario en el que pido tres datos: Excentricidad, Precesión y Número de Vueltas a dibujar. El programa está casi hecho, a falta de introducir las fórmulas de cálculo.
Solo me queda una duda, y me da la impresión de que este tema tendría que ser un hilo nuevo, y no se si estaría mejor en Física (por lo de las órbitas) o en Matemáticas por lo de geometría.

Nada, estamos en órbita, en Física.


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Conan el BárbaroLa Torre del Elefante

10 Marzo, 2020, 12:45 pm
Respuesta #9

MasLibertad

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Hola a todos.

Ya he terminado y publicado el programa para dibujar
La Espiral de Kepler.

Creo que me ha quedado bastante bien, al menos es lo que pretendía desde el principio, por lo que doy por terminado el tema, salvo que alguien quiera hacer algún comentario.

Gracias por vuestra ayuda y comentarios.
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