[enano]

Hola compañeros... alguna ayuda con esta demostración? Saludos

Si \( z\in{G_n}\implies{(\overline{z})^p}\in{G_n} \), p es entero

Avances:

hipotesis: \( z^n=1 \)

\( (\overline{z})^p=\overline{z}\cdot{\overline{z}\cdot{\overline{z}\cdot{\overline{z}}}} \)
\( (\overline{z})^p=\overline{z\cdot{z\cdot{z\cdot{z}}}} \)
\( (\overline{z})^p=1\cdot{1\cdot{1\cdot{1}}} \)
\( (\overline{z})^p=1 \)

Por otro lado me queda la duda de si debo demostrar para \( p=0 \), \( p<0 \), \( p>0 \)

[ingmarov]

Hola

A ver

Si z es una raíz enésima de la unidad, también lo son sus potencias enteras.

\( (z^p)^n=z^{p\cdot n}=z^{n\cdot p}=(z^n)^p=1^p=1 \)

No ví la barra de z conjugado, pero esa es una idea


Saludos

[enano]

Gracias Ingmarov, así estará bien? Saludos


\( ((\overline{z})^p)^n=(\overline{z})^{p\cdot{n}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=(\overline{z})^{n\cdot{p}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{(z)^{n\cdot{p}}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{(z^n)^p} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{1^p} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=1 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias Ingmarov, así estará bien? Saludos

\( ((\overline{z})^p)^n=(\overline{z})^{p\cdot{n}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=(\overline{z})^{n\cdot{p}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{(z)^{n\cdot{p}}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{(z^n)^p} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{1^p} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=1 \)

Bien.

Saludos.

[enano]

Gracias Ingmarov, así estará bien? Saludos


\( ((\overline{z})^p)^n=(\overline{z})^{n\cdot{p}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{(z)^{n\cdot{p}}} \)

esta bien esa parte? Porque no tengo esa propiedad en mi lista 

[ingmarov]

Hola

Gracias Ingmarov, así estará bien? Saludos


\( ((\overline{z})^p)^n=(\overline{z})^{n\cdot{p}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{(z)^{n\cdot{p}}} \)

esta bien esa parte? Porque no tengo esa propiedad en mi lista 

Si no la tienes deberías demostrarla.

Y ¿Tienes algo como \( \overline{z}=\dfrac{|z|^2}{z} \)?


En este caso, ya que |z|=1,   \( \overline{z}=\dfrac{1}{z} \)


Saludos

[enano]

Creo que si, solo que le vemos como \( z\cdot{\overline{z}}=\left |{z}\right |^2 \)

Pero se como usarla para demostrar lo anterior

[ingmarov]

Creo que si, solo que le vemos como \( z\cdot{\overline{z}}=\left |{z}\right |^2 \)

Pero se como usarla para demostrar lo anterior

Así

\( (\overline{z}^p)^n=\left((\frac{1}{z})^p\right)^n=\dfrac{1}{(z^p)^n}=\cdots \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias Ingmarov, así estará bien? Saludos


\( ((\overline{z})^p)^n=(\overline{z})^{n\cdot{p}} \)

\( ((\overline{z})^p)^n=\overline{(z)^{n\cdot{p}}} \)

esta bien esa parte? Porque no tengo esa propiedad en mi lista 

Esa propiedad es consecuencia de que la conjugación "conmuta" con el producto. Es decir:

\( \overline{z\cdot w}=\bar z\cdot \bar w \)

Por tanto:

\( \overline{z^2}=\overline{z\cdot z}=\bar z\cdot \bar z=(\bar z)^2 \)

E inductivamente:

\( \overline{z^k}=\overline{z^{k-1}\cdot z}=\overline{ z^{k-1}}\cdot \bar z=(\bar z)^{k-1}\cdot \bar z=\bar z^k \)

Saludos.