Autor Tema: Polinomios y complejos

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24 Febrero, 2020, 07:23 pm
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enano

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Hola compañeros, tengo una actividad que necesito saber si estoy trabajando bien...

Sea \( P(z) \) un polinomio de grado \( n \) con coeficientes reales y \( P(2+3i)=1-i \) ¿a que equivale \( P(2-3i) \)

mi conclusión es que \( P(2-3i)=1-i \) por la propiedad \( \overline{P(z)}=P(\overline{z}) \) es decir, el conjugado de un polinomio valuado en una raíz es igual al polinomio valuado en en el conjugado de la raíz

¿es correcto?

Por otro lado que ocurre con la propiedad si alguno de los coeficientes no son reales?

se me ocurrió que si el conjugado de un coeficiente real es el mismo real, el conjugado de un coeficiente imaginario es el opuesto por ende

\( \overline{P(z)}=P(-z) \) ¿es correcto? Saludos

24 Febrero, 2020, 07:51 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

...
Por otro lado que ocurre con la propiedad si alguno de los coeficientes no son reales?

...

Si tienes coeficientes complejos, siempre puede separar el polinomio en sus dos partes la real y la imaginaria, partes que serán polinomios en los que puedes aplicar propiedades.

Por ejemplo

\( {\bf\color{red}P(x)=}(1+3i)x^2+(2-i)x+(4+7i)=(x^2+2x+4)+i(3x^2-x+7) \)

Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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24 Febrero, 2020, 08:02 pm
Respuesta #2

enano

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no entiendo  ??? es un contraejemplo?

24 Febrero, 2020, 08:17 pm
Respuesta #3

ingmarov

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no entiendo  ??? es un contraejemplo?

Solo respondo a tu duda, de ¿qué pasa con la propiedad si tenemos coeficientes complejos?



Agrego

Si P es un polinomio con coeficientes complejos, Q y G polinomios con coeficientes reales, tal que P=Q+iG, entonces

\( P(z)=Q(z)+iG(z)=(a_1+ib_1)+i(a_2+ib_2)=\bf\color{blue}(a_1-b_2)+i(b_1+a_2)\quad\Rightarrow \overline{P(z)}=(a_1-b_2)-i(b_1+a_2) \)

\( P(\overline{z})=Q(\overline{z})+iG(\overline{z})=(a_1-ib_1)+i(a_2-ib_2)=\bf\color{red}(a_1+b_2)+i(-b_1+a_2) \)

Por lo que

\( \overline{P(z)}\neq P(\bar{z}) \)


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