Autor Tema: Probar triángulo equilátero y números complejos

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22 Febrero, 2020, 08:30 pm
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enano

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Hola compañeros me podran ayudar con el siguiente ejercicio? saludos

Si \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=1 \) probar que si \( z_1 \),\( z_2 \),\( z_3 \) son los vértices de un triangulo equilatero triángulo equilátero entonces la suma \( z_1+z_2+z_3=0 \).

Hice un gráfico ubicando \( z_1 \) de modo que sea \( (1+0i) \) creo que lo primero que tendria que hacer es obtener los otros dos vértices pero no se como hacerlo...


22 Febrero, 2020, 08:34 pm
Respuesta #1

sugata

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¿Y si buscas complejos con alguna componente cero?

22 Febrero, 2020, 08:51 pm
Respuesta #2

enano

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pero ya tengo un vértice así, y necesito que el triangulo sea equilatero

22 Febrero, 2020, 11:05 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Hola

A ver, si \( z_1=e^{i\theta} \)


Entonces

\( z_2=e^{i(\theta+120^{\circ})} \)

\( z_3=e^{i(\theta-120^{\circ})} \)


Entonces

\( z_1+z_2+z_3=e^{i\theta}+e^{i(\theta+120^{\circ})}+e^{i(\theta-120^{\circ})}=e^{i\theta}(1+e^{i120^{\circ}}+e^{-i120^{\circ})}= \)

\( z_1+z_2+z_3=e^{i\theta}(1+cos(120^{\circ})+i sen(120^{\circ})+cos(-120^{\circ})+isen(-120^{\circ})) \)



Termina

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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22 Febrero, 2020, 11:12 pm
Respuesta #4

enano

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Hola Ingmarov, creo que eso que usaste es Euler o forma polar, y no puedo usarlo... se debería poder resolver con raíz enésima de un complejo, distancia entre complejos, etc

22 Febrero, 2020, 11:20 pm
Respuesta #5

ingmarov

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Hola Ingmarov, creo que eso que usaste es Euler o forma polar, y no puedo usarlo... se debería poder resolver con raíz enésima de un complejo, distancia entre complejos, etc

Ah, haberlo dicho antes. ¿Que más incluye el etc?
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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22 Febrero, 2020, 11:24 pm
Respuesta #6

enano

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Forma binomial, potencia enésima de un complejo, forma trigonométrica de un complejo, producto de complejos en forma trigonométrica, modulo de complejos, propiedades de circunferencia y triángulos

23 Febrero, 2020, 12:29 am
Respuesta #7

ingmarov

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Forma binomial, potencia enésima de un complejo, forma trigonométrica de un complejo, producto de complejos en forma trigonométrica, modulo de complejos, propiedades de circunferencia y triángulos

Entonces

\( z_1=cos(\theta)+i sen(\theta)\\z_2=cos(\theta+120^{\circ})+i sen(\theta+120^{\circ})\\z_3=cos(\theta-120^{\circ})+i sen(\theta-120^{\circ}) \)


\( z_1+z_2+z_3=(cos(\theta)+cos(\theta+120^{\circ})+cos(\theta-120^{\circ}))+{\bf i}(sen(\theta)+sen(\theta+120^{\circ})+sen(\theta-120^{\circ})) \)

Te servirán las identidades

\( cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sen(\beta) \)

\( sen(\alpha+\beta)=sen(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sen(\beta) \)


Termina
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24 Febrero, 2020, 07:11 pm
Respuesta #8

enano

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