Hola.
a) Observa que por el teorema de la base media en los triángulos \( ABD \) y \( DBC \) se tiene que \( \overline{MR}\parallel\overline{BD} \) y \( \overline{PQ}\parallel\overline{BD} \), luego \( \overline{MR}\parallel\overline{PQ} \), similarmente se prueba que \( \overline{MP}\parallel\overline{RQ} \), por tanto el cuadrilátero \( MPQR \) es un paralelogramo.
b) Observa que por ser \( MPQR \) un paralelogramo, será suficiente mostrar que \( \overline{XY} \) intersecta a \( \overline{MQ} \) en su punto medio (pues \( \overline{MQ} \) y \( \overline{PR} \) se intersectan en sus puntos medios).
Con este fin sería bueno que realizes un nuevo dibujo dónde sólo consideres al cuadrilátro \( ABCD \), a sus diagonales, a \( \overline{XY} \) y a \( \overline{MQ} \). Observa que nuevamente por el teorema de la base media en los triángulos \( DBC \) y \( ABC \) tenemos que \( \overline{BC}\parallel\overline{XQ} \) y \( \overline{BC}\parallel\overline{MY} \), entonces \( \overline{MY}\parallel\overline{XQ} \), similarmente se prueba que \( \overline{MX}\parallel\overline{YQ} \), luego el cuadrilátero \( MXQY \) es un paralelogramo y sus diagonales \( \overline{XY} \) y \( \overline{MQ} \) se intersectan en sus puntos medios.
c) Observa que por el teorema de la base media (aplicada a los mismos triángulos que en a)) se tiene también que \( MR=\dfrac{BD}{2}=PQ \), similarmente se tiene que \( MP=\dfrac{AC}{2}=QR \), y ya tenemos expresadas las longitudes de los lados del paralelogramo en función de las digonales de \( ABCD \).
d) Piensa que ocurre cuando \( AC=BD \).
Saludos.
