Autor Tema: ¿Cuánto puede durar una racha en estadística?

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17 Febrero, 2020, 03:43 pm
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Raúl Aparicio Bustillo

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Supongamos que lanzamos una moneda de Laplace n veces, ¿puede salir \( n \) caras? Esto será cierto hasta un número determinado de caras. Evidentemente, la entropía (no del Universo entero, sino de la parte del Universo que vista desde fuera de los horizontes contribuye solo con el lanzamiento de caras \(  S=-k ln e^{-n} \), que será menor. Eso contribuye como mucho a la entropía que se genera de esos lanzamientos, al menos en un radio que sea la región a la cuál ha viajado la información del número de caras. Esa cantidad es ridicula, si no fuera porque en cada lanzamiento tenemos que dar información de que el experimento ha sido de Laplace, que la gravedad en la zona donde empieza a haber contacto con el suelo es paralela al plano de simetría de la moneda, que la superficie era lisa al nivel que lo es la moneda. No sabría cómo hacer el cálculo.


Teniendo en cuenta que la entropía de 1 agujero negro es \(  S_ {BH}=\displaystyle\frac{c^33A}{4 G \hbar}  \)y que nuestra entropçía sería menor que 1 agujero negro que se generara suponiendo que la información viajara como mucho a la velocidad de la luz, luego\(  A=4\pi c^2t^2 \)

En realidad esta pregunta es mucho más sencilla si conocemos la diferencia máxima que puede haber entre frecuencia relativa de un experimento multinomial y su probabilidad, pero me he pasado años preguntado en foros, y ningún matemático se ha dignado a responderme. Pensando mal pienso que ocultan en el resultado :D, y pensando peor que ni lo saben, con lo cual estarían viviendo de estadística a la hora de hacer predicciones, cuando no la saben, y eso  que, bueno, en la antigüedad no se sabía, pero actualmente la entropía de un agujero negro que no rota se conoce perfectamente de la fómrula de Hawking

Bueno, en conclusión, que aún considerando el caso extremo para la densidad de entropía de Hawking, un suceso con una posibilidad \( >10^{-25} \) no puede ocurrir, aunque esto no es una deducción matemática, sino física, lo que pasa es que claro, con la matemático solo no se llega nada, ni el señor ese que dice que hay que barajar una baraja 7 veces para que una partida sea correcta. A lo mejor, ya que los no matemáticos no tenemos la más mínima falta de humildad al admitir que no seríamos capaces de demostrar ni el teorema de Noether ni que una ecuación diferencial de segundo orden tiene solución, tampoco les vendría mal admitir que ellos miran por la ventana y cogen el paraguas en función de si está nublado y así, todos salimos ganando. Y ya, si me decís cuál es la noción que se emplea actualmente en probabilidad, pues creo que podríamos jugar todos con ventaja :D, porque yo no espero a ver 200 caras en una moneda al lanzarla para sospechar que está trucada, que yo, aparte de físico, hay días que soy humano incluso. Y voy a mirar el cielo ahora en 10 minutos cuando salga a ver qué chaqueta me pongo, aunque la probabilidad del 80% de acierto de la AEMET en sus predicciones no se la crean ni ellos

El agujero negro, Geometracat, tiene que ver que la densidad volúmica de entropía de un agujero negro es máxima, por eso la única forma en la que un agujero negro puede aumentar su entropía es comiendo info, u objetos, que para el caso es lo mismo, y aunmentando su superficie. El caso extremo es un agujero radial con diamentro longitud de Planck (te contarán movidas sobre ordenes de magnitud, porque los físicos son un poco vagos en eso, con tener ordenes de magnitud les vale.  De hecho, la entropía del agujero negro la suelen dar en ordenes de magnitud, hay una expresión que es exacta en el sistema que no rota) https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole_thermodynamics

17 Febrero, 2020, 06:33 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No entiendo muy bien ni cuál es la pregunta, ni a qué te refieres cuando empiezas a hablar de entropías (y de la entropía de un agujero negro).
Si la pregunta es ¿cuánto puede durar una racha?, la respuesta (matemática) es que puede durar indefinidamente. Es muy improbable que al lanzar \( 1000 \) veces una moneda te salga \( 1000 \) veces cara, pero podría pasar. Lo mismo con cualquier número en lugar de \( 1000 \).

Una cuestión importante para ver que las rachas pueden ser indefinidas es recordar que la moneda no tiene memoria. Cada lanzamiento es independiente de lo que haya salido hasta el momento. Si hubiera un máximo a la longitud de las rachas, esto no se podría cumplir, ya que la existencia de un máximo implicaría que la moneda "recuerda" que anteriormente han salido \( n \) caras.

Tampoco entiendo qué es exactamente a lo que los matemáticos en foros nunca te responden, sobre la multinomial y su probabilidad. Si puedes aclarar esto y poner preguntas más precisas, puedo intentar contestar (hasta donde yo sepa).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Febrero, 2020, 03:21 am
Respuesta #2

Richard R Richard

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Hola , este tema lo he debatido en otro foro, (quiza contigo hace años , jaja  si fuera verdad, ya no lo recuerdo) por ello te puedo dar algunas ideas para tener en cuenta.

Que es una moneda de Laplace? Aquella que tiene la misma probabilidad de salir cara que seca no?,
Es una moneda ideal, es decir no es posible que caiga de canto, solo hay dos valores posibles  como dato al arrojarla  o es cara o es ceca.
Como nos aseguramos de  que es una moneda de Laplace,  , de los millones de monedas que nos disponemos a fabricar ,escogemos  solo la que probamos,  por ejemplo la arrojandola un millón de veces y   escogiendola solo si 500000 veces ha caído cara y 500000 veces  ha caído seca.
Pero como la arrojamos, elegimos diferentes tiradores, que aleatoriamente deben arrojarla en cualquier dirección,  rotando  por un eje que pasa por uno de sus diámetros con impulso variable.
La gravedad  no necesariamente tiene que ser constante, probamos en el interior de un barco con mar picado, el sitio de lanzamiento, tiene viento artificial y natural, de modo que dominar todas esas variables para sesgar la medición aleatoria es imposible, aunque sigue siendo determinista a ultranza.


Podemos inferir que esa moneda dados esos resultados, no tiene sesgo... o si?

Bueno ahora comenzamos nuestro experimento , sin alterar de modo alguno  la moneda,  y la forma de arrojarla.

Y bueno como resultado obtuvimos que en los primeros 1000 tiros  la moneda ha caído cara en todos ellos, ... es esto posible?, sí claro, ha sucedido es un hecho.

Esto altera la probabilidad que en el tiro 1001 la moneda vuelva a salir cara?,  apostarías más a cara que a ceca?

Pues no , la probabilidad de que salga cara o seca  siguen siendo iguales entre si osea al 50%... influye en algo que las últimas 1000 hayan salido caras?...nooooo, pues determinaste que la moneda no tiene sesgo...

Es muy probable que esto suceda? , no, para nada, 1 posibilidad entre \( 2^{1000} \)  pero puede suceder.


Qué puedes concluir, también, que el análisis del sesgo inicial es erróneo, y la moneda realmente tiene sesgo para que caiga cara... es absurdo... una moneda con sesgo para obtener 1000 caras seguidas al primer intento, aprobó su examen justo con el 50% luego  de 1000000 de lanzamientos, eso es más improbable aún.

Sobre entropía , poco y nada sé para relacionarlo con este tema, así que con ello paso, lo siento verdaderamente.

En realidad esta pregunta es mucho más sencilla si conocemos la diferencia máxima que puede haber entre frecuencia relativa de un experimento multinomial y su probabilidad, pero me he pasado años preguntado en foros, y ningún matemático se ha dignado a responderme.

Pues plantea formalmente el problema, aver si nos animamos a darle respuesta. >:D , quizá sea el último foro en el que tengas que buscar respuesta, aunque no se porque quieres hacer el experimento multinomial, cuando este es claramente e idealmente binomial.

Yo pienso que , tu idea es  tener en cuenta , modificar el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de 1000 caras seguidas , cuando  la probabilidad  de cara en el siguiente tiro, la calculas en  base al historial de resultados previo de la moneda, como \( \dfrac{N_{caras}}{N_{lanzamientos}} \) en vez de considerarla Laplaciana al 50% constantemente, esto si empeora las cosas, considerar la moneda no perfecta.

Pensando mal pienso que ocultan en el resultado :D, y pensando peor que ni lo saben, con lo cual estarían viviendo de estadística a la hora de hacer predicciones, cuando no la saben, y eso  que, bueno, en la antigüedad no se sabía, pero actualmente la entropía de un agujero negro que no rota se conoce perfectamente de la fómrula de Hawking

Hacer ciencia para ocultar los resultados a la comunidad científica... no esto no es ciencia bélica... ;D





Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

18 Febrero, 2020, 03:16 pm
Respuesta #3

Raúl Aparicio Bustillo

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No entiendo muy bien ni cuál es la pregunta, ni a qué te refieres cuando empiezas a hablar de entropías (y de la entropía de un agujero negro)

\(
 S_{{gen}}=S_{{conv}}+{\frac {c^{3}k}{4G\hbar }}A \)

Al menos la entropía del agujero negro, con eso me refiero a que la entropía de un volumen al que llegue la información del experimento, poniendo como cota la velocidad de la luz en el vacío (es menor, pero no nos vamos a poner a averiguar el campo gravitatorio por donde se propaga la información, ese cálculo es infumable, y al ser campos débiles tampoco nos beneficiaría mucho en la cota)

Podrías alegar que al ser el resultado menos probable la entropía real es menor, pero no, la probabilidad de que salga una secuencia de n caras, por muy grande que sea n, es la misma que salga cualquier otra combinación, por mucho que sea "más realista" en el sentido de que se acerque más su frecuencia relativa a la probabilidad, insisto, es un experimento de Laplace, como bien dices tú.

Todo esto no es para calcular ningún tipo de entropía, sino porque muchas veces se dan resultados como ciertros con un nivel de significación habitual de 0,05 ó 0,01, y yo no veo nada claro que esos valores, aunque pequeños, sean lo suficientemente pequeños. Otra cosa que se me ocurre es que \( H_0  \)y \( H_1 \) formen un conjunto exhaustivo en un test de hipótesis, e igualar los errores tipo I y tipo II, con lo cual nos evitamos recurrir a la física, que de hecho alguien me podría decir que me estoy saliendo del tema del foro, que es de matemáticas, pero no veo qué razón matemática puede justificar que ambos errores se pueden tomar iguales de forma razonable, y en la mayoría de los casos, el error tipo II ni lo dan, y no sé en qué razones se puede considerar que es el mismo, y si es una condición suficiente para que siendo ambos errores iguales, ambas propuestas son igual de razonables

18 Febrero, 2020, 04:31 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Ah bueno, lo de los contrastes de hipótesis es otro asunto. Es verdad que un nivel de confianza del 95% o del 99% puede no ser muy alto en muchos casos, sobre todo si se trata de algo muy importante. La cuestión es que por muchas veces que repitas un experimento nunca podrás estar seguro de que el contraste de hipótesis no esté equivocado. Es decir, nunca puedes reducir a 0 los errores de tipo I y tipo II. Aunque cuantas más veces repitas el experimento más seguridad tendrás.

Los valores 95% y 99% no dejan de ser una convención, que se usa mucho en ciencias sociales o en medicina. Tengo entendido que, por ejemplo, en física de partículas para que algo se considere un descubrimiento (el bosón de Higgs por ejemplo) se exige un nivel de confianza mucho mayor.

Sobre lo último que dices de los errores tipo I y tipo II: estos errores no son independientes. Si reduces uno te sube el otro. Entonces lo que se hace normalmente es dar un nivel de significación, que es el error de tipo I máximo que puedes cometer, y una vez fijado eso considerar el contraste que tiene menor error de tipo II (a esto se le llama el test con mayor potencia).
Esto se hace así porque tal como se plantean los tests uno quiere estar razonablemente seguro de que si los datos rechazan la hipótesis nula, ésta está bien rechazada. Los tests de hipótesis funcionan igual que los juicios: hay presunción de inocencia (presunción de que \( H_0 \) es cierta) a menos que haya fuertes eviencias de lo contrario. De manera que se considera menos peligroso cometer un error tipo II (dejar libre a alguien culpable) que cometer un error de tipo I (encarcelar a un inocente).

De todas maneras, tienes que tener en cuenta que el error tipo II (aceptar \( H_0 \) cuando es falsa) depende de cuál sea el verdadero valor del parámetro sobre el que haces el test. Es decir, no es un único valor sino que tienes un valor para cada posible valor del parámetro. Por eso se suele dar la curva de potencia del test. En cualquier caso, en los test típicos estas curvas se pueden calcular sin demasiada dificultad.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Febrero, 2020, 06:13 pm
Respuesta #5

Raúl Aparicio Bustillo

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Sí, pero todo esto, bueno, no sé cómo se calcula la hipótesis. Evidentemente, hay una constante universal que es propia de nuestro Universo, y que puede (de hecho, estoy casi seguro de que lo es), que es la probabilidad mínima no nula que puede tener un resultado, sea este resultado la conjunción de todos los resultados que tú quieras, y que no es nula, y que se puede determinar sabiendo la entropía del estado final del universo, pues en ese caso, todos los resultados son igualmente probables, y trivialmente, S=\displaystyle\sum_{\displaystyle\frac{1}{p}}, donde p es el mismo para todos los resultados. Esto se da obviamente solo en el caso de muerte térmica del Universo, http://www.informationphilosopher.com/solutions/scientists/layzer/Frautschi_Science_1982.pdf. No sé si es una pregunta de matemáticas o de física realmente, pero como veo usar en matemáticas el analisis bayesiano, sé que aunque la pregunta estrictamente es de física, los matemáticos recurren continuamente a ella, pero siempre dan cotas a la probabilidad, asumiendo ese valor ya es descartable puesto que no puede ser otro sino 0, pero es que nunca hacen referencia a ese valor, y la verdad, no me apetece ir seleccionando esos valores para dar una cota, preferiría obtener el valor exacto de probabilidad mínimo dentro de los mayores de uno

Se puede recurrir a los valores de acción directamente, cualquier cosa que tenga un valor\(  <\hbar \), ha de ser 0

No quiero pensar que realmente el valor se lo están inventando. Obviamente en ese caso el analisis bayesiano sería la única opción para tomar decisiones, pero todos los supuestos culpables habrían de estar en la calle por falta de pruebas, y eso, bueno, en algunos países no es de extrañar, pero me parecería poco serio xDDD

18 Febrero, 2020, 08:10 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Ah, creo que ya veo por dónde vas. En cualquier caso, yo creo que es un problema de física. Nunca he visto a matemáticos (ni a estadísticos) preocuparse por estas cosas. No tengo mucha idea, pero intuyo que no se debe saber calcular bien (probablemente ni aproximadamente) ese valor mínimo de la probabilidad.

Físicamente, aunque es cierto que estrictamente la estadística frecuentista (que se basa en leyes de grandes números y hacer tender el número de elementos de una muestra hacia infinito) no es válida, da una aproximación bastante buena que funciona razonablemente bien en el día a día. La estadística bayesiana no tiene estos problemas pues no basa los resultados en hacer límites, pero tiene otros problemas propios.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

18 Febrero, 2020, 09:19 pm
Respuesta #7

feriva

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Hola.

Creo que el problema, por lo que entiendo, es equivalente a elegir una secuencia concreta; por ejemplo, con “cara=A” y “cruz=B”:

AABAAABBBBABAB

Para obtener esa secuencia hay que lazar 14 veces la moneda (si no cuento mal).

La probabilidad de que a la primera salga una A, es de 1/2 (pues sólo hay A y B en la moneda, que es lo que cuenta). La probabilidad de que a la segunda salga otra “A”, habiendo salido la primera “A”, es de un 1/4... y así.

Hay 16384 variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 14 en 14, variaciones entre las que está esa elegida o ésta misma AAAAAAAAAAAAAA, por ejemplo; cualquiera de las 16384 variaciones tiene la misma probabilidad de salir después de haber lanzado la moneda las 14 veces.

Por tanto, la probabilidad de que salga una variación elegida en particular (cualquiera) es de \( \dfrac{1}{16384}
  \) en este ejemplo. Obviamente, en la medida que la variación elegida sea más larga e implique más lanzamientos, más bajará la probabilidad. Si la cantidad de símbolos A,B (en un orden elegido) tiende a infinito, pues la probabilidad de que salga tiende a cero; ya simplemente por el hecho de que no se llega a infinito nunca, suerte aparte.

Matemáticamente creo que es sólo esto, el cómo puede influir un singularidad física... eso ya no lo sé.

Saludos.

18 Febrero, 2020, 09:46 pm
Respuesta #8

Raúl Aparicio Bustillo

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Bueno, pero entonces, ¿sería un tema de física‽ Porque

creo atañe a todas las ciencias experimentales, no sé, y si la respuesta es distinta serà por el nivel de resolución, no más. No entiendo bien por qué se oculta está respuesta ¿para proteger determinadas disciplinas? En física el cálculo es.triviso, nadie lo ocultamos, y no ha supuesto su fin,, al contrario, sabemos qué cualquier càlxulo físico es incuestionable. ¿Por qué las otras ciencias no hacen lo mismo?

18 Febrero, 2020, 10:05 pm
Respuesta #9

geómetracat

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feriva, todo lo que dices está bien, salvo un tema de expresión que es el siguiente:
La probabilidad de que a la segunda salga otra “A”, habiendo salido la primera “A”, es de un 1/4...
Aquí parece que estés diciendo que la probabilidad de que la segunda tirada sea A, sabiendo que la primera ha sido A (es decir, la probabilidad condicionada \( P(A| \text{1ª tirada } A) = 1/4 \)). Cuando lo que en realidad quieres decir es que la probabilidad de que en las dos primeras tiradas salga A es de 1/4 (P(AA)=1/4).

Si he entendido bien, el problema que plantea Raúl es que si hay un número finito de estados del universo, entonces hay una cota a la probabilidad mínima de un suceso cualquiera en la realidad (si no va por ahí corrígeme).
Eso no atañe a las matemáticas, para las que todo es ideal. Para la demás ciencias, hombre, en mi opinión estos efectos son irrelevantes. Tal como yo lo veo, es como pretender estudiar el movimiento de una pelota en caída libre usando gravedad cuántica. En la práctica nada de esto se va a notar.

Por otro lado, no tengo muy claro que nadie oculte nada. Como ya digo, es bastante irrelevante en la práctica. Por otro lado, yo nunca lo había oído ni me lo había planteado. Tal como lo dices, parece que haya una conspiración de científicos para ocultar una gran verdad, cuando lo más probable es que ni se les haya pasado por la cabeza.
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