Autor Tema: Ecuación polinómica con complejos

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16 Febrero, 2020, 03:17 am
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nktclau

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Hola GENTE!! necesito de vuestra gran ayuda, por favor en el siguiente ejercicio.

Me solicitan calcular las soluciones en forma trigonométrica y en forma cartesiana de \( z^6=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \)

FORMA POLAR O TRIGONOMETRICA

LLamé \( w=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}+\displaystyle\frac{i}{\sqrt[ ]{2}}\Longleftrightarrow{w=\begin{cases}{ |w|=1}\\ \text{ y }\\ \alpha=Arg(w)=45°=\displaystyle\frac{\pi}{4} \end{cases}} \)\( \Longleftrightarrow{w=1 \cdot cis(45°)} \)

Luego \( z^6=cis(45°) \Longleftrightarrow{z=\sqrt[ 6]{cis(45°)}} \) tal que \( \sqrt[ 6]{w}=\left\{{z \in{\mathbb{C}: z^6=w}}\right\} \)

Las raíces son de la forma \( z_k=\left\{{\sqrt[6 ]{|w|} cis \left<{\displaystyle\frac{45° + 360 \cdot k}{6}}\right>}\right\} \) con \( k \in{\mathbb{Z}}\text{ } 0\leq{k}\leq{5} \)

Las seis soluciones son \( f(x)=\begin{cases} cis\left<{\displaystyle\frac{15}{2}}\right>\\cis\left<{\displaystyle\frac{135}{2}}\right>\\cis\left<{\displaystyle\frac{255}{2}}\right>\\cis\left<{\displaystyle\frac{375}{2}}\right>\\ cis\left<{\displaystyle\frac{495}{2}}\right>\\ cis\left<{\displaystyle\frac{615}{2}}\right>\end{cases} \)

FORMA CARTESIANA

\( z^6=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \)

Bueno aqui obviamente esos angulos que hallé en el inciso anterior no son exactos y por lo tanto hay una sugerencia que es la que sigue:

El lado derecho de la ecuación es \( i \)

Entonces hice \( w=z^3 \)

elevo al cuadrado miembro a miembro y obtengo \( w^2=(z^3)^2=z^6=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \)

Por lo tanto debo hallar las soluciones en forma cartesiana de \( w^2=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \)

Entonces llamo a \( w=a+bi\Longrightarrow{w^2=(a+bi)^2}=\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt[ ]{2}} \) con \( a,b \in{\mathbb{R}} \)

Desarrollando el cuadrado del lado izquierdo, agrupando e igualando complejos obtengo el siguiente sistema.

\( \begin{cases} a^2-b^2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \\ \text{ y }\\ 2ab=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}  \end{cases} \)

Reslviendo este sistema llego a dos soluciones \( w_1=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}}}{2}+\displaystyle\frac{i}{\sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{2}}} \) y \( w_2=\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{2+\sqrt[ ]{2}}}{2}-\displaystyle\frac{i}{\sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{2}}}  \)

En teoría ahorra debo resolver en forma cartesiana las ecuaciones \( z^3=w_1 \) y \( z^3=w_2 \)

¿Hay algo que interpreté mal, o no se usar la sugerencia,  ??? ??? es muy engorroso, si debo usar el mismo procedimiento anterior, por eso pregunto.

GRACIAS

Saludos

16 Febrero, 2020, 03:52 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Sí, se ve complicada la segunda parte.

¿No te permiten obtener las cartesiana de las trigonometrcas?
Es más fácil obtener los valores usando identidades. Por ejemplo

\( cos(\frac{15^{\circ}}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \)

\( sen(\frac{15^{\circ}}{2})=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \)


Luego usando identidades de suma de ángulos se obtienen el resto de soluciones.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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16 Febrero, 2020, 06:16 pm
Respuesta #2

nktclau

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Hola \( Ingmarov \) MUCHAS GRACIAS antes que nada!!

¿Cómo has hecho para obtener \( cos\left(\displaystyle\frac{15}{2}\right) \)?

Creo que es eso lo que solicitan, no tengo apuntes muy buenos de  la teoria.

GRACIAS!!!

16 Febrero, 2020, 06:33 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Corrección


..
¿Cómo has hecho para obtener \( cos\left(\displaystyle\frac{15}{2}\right) \)?

...


Utilizo la identidad \( cos(\theta)=\sqrt{\dfrac{1+cos(2\theta)}{2}} \)

Primero la utilizo con \( \bf\color{red}\theta=15^{\circ} \)  obtengo el coseno de quince grados, luego la vuelvo a aplicar aprovechando este resultado.

El seno lo calculé con la identidad \( sen(\theta)=\sqrt{1-cos^2(\theta)} \) . Aquí ya conocido el coseno de 7.5 grados.

Saludos
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