Autor Tema: DUDAS sobre los números complejos

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16 Febrero, 2020, 02:50 am
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BlackRey

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¡Hola a todos!

Bueno lo primero gracias de antemano por contestar y perdonad mi poco conocimiento de matemáticas, se podría decir que soy principiante. :)

Mi 2 dudas son las siguientes:

Parto de la representación de los números reales en una recta (1 dimensión). Coloco el 0 en un punto arbitrario y ya puedo colocar a la derecha de él los números positivos y a la izquierda los negativos. Bien. Al realizar la operación de la raíz cuadrada de un número negativo observo que ningún número de esa recta que he dibujado es solución, y aprendo que se define como i a la raiz cuadrada de -1. Vale.

1. ¿Por que a la hora de representar los números complejos se utiliza una recta perpendicular a la recta de los números reales (que pasa por 0 formando un plano de 2 dimensiones) cuando no hay más datos de i ni de la solución de la raíz cuadrada de -1 ?

2. ¿Se podría decir entonces que una función de toda la vida f(x) es un número complejo de la forma f(x)* = x + i f(x) ? (pongo el asterisco para indicar que es una función compleja)

Perdón si son preguntas muy básicas pero necesito estar seguro de todo  :P

16 Febrero, 2020, 04:08 am
Respuesta #1

delmar

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Hola BlackRey

Bienvenido al foro

1. Es por la forma como se definen los números complejos.

Un número complejo z es un par ordenado de números reales, \( z=(x,y) \ / \ x,y\in{R} \), la abscisa se denomina parte real y la ordenada parte imaginaria; de tal manera que para el conjunto de números complejos C estan definidas dos operaciones la adición "+" y la multiplicación "." de la siguiente manera :

Si \( z_1=(x_1,y_1), \ z_2=(x_2,y_2) \) son números complejos entonces \( z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2) \) y \( z_1.z_2=(x_1 x_2-y_1 y_2,x_1y_2+y_1x_2) \)

Es decir los números complejos, forman un conjunto, con dos operaciones definidas como se ha mencionado. El número complejo al ser un par ordenado, se puede asociar a un punto de un plano cartesiano (eje X parte real, eje Y parte imaginaria)

2. Una función real f se puede representar en un plano complejo,  como un conjunto de números complejos (puntos) z tal que \( z=(x,f(x))=x+i \ f(x) \), tanto la función real como el conjunto de números complejos tienen la misma gráfica; pero si f se considera como  una función compleja, su gráfica se da en 2 planos complejos (uno para el dominio y el otro para el rango) y es diferente a la gráfica del caso anterior, observa que el domino de la función f como función compleja, esta en el eje X, el rango de f también  esta en el eje X  obviamente del segundo plano complejo.


Saludos

16 Febrero, 2020, 03:37 pm
Respuesta #2

BlackRey

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La segunda respuesta me ha quedado muy clara, gracias  :)

En la primera explicas como están definidos los números complejos, y yo entiendo esa "i" como un indicador de que te estas moviendo en el eje Y.

- Pero entonces, ¿esta definición que relación tiene con la igualdad i = \( \sqrt{-1} \) ?

A ver si me explico, supongamos que yo tengo el número z = 2+2i. Dibujándolo en el plano XY obtengo el punto con coordenadas (2,2). ¿Pero hasta que punto es verdad esto si no conocemos el valor de i? Se esta suponiendo que i vale 1 en el eje Y. No se si me explico.

Gracias por contestar. Saludos

16 Febrero, 2020, 04:15 pm
Respuesta #3

Masacroso

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La segunda respuesta me ha quedado muy clara, gracias  :)

En la primera explicas como están definidos los números complejos, y yo entiendo esa "i" como un indicador de que te estas moviendo en el eje Y.

- Pero entonces, ¿esta definición que relación tiene con la igualdad i = \( \sqrt{-1} \) ?

A ver si me explico, supongamos que yo tengo el número z = 2+2i. Dibujándolo en el plano XY obtengo el punto con coordenadas (2,2). ¿Pero hasta que punto es verdad esto si no conocemos el valor de i? Se esta suponiendo que i vale 1 en el eje Y. No se si me explico.

Gracias por contestar. Saludos

Creo que estás confundiendo la representación de una función en el plano XY con la representación de los números complejos en un plano XY, que son cosas distintas.

Una función real (es decir, que toma valores en \( \Bbb R  \) y da valores en \( \Bbb R  \)) se representa en el plano XY por los puntos \( (x,f(x)) \), donde tanto \( x \) como \( f(x) \) son números reales (por eso toman valores en una recta que representa la recta de los números reales). Si definimos la función \( f:\Bbb R \to \Bbb R ,\, x\mapsto x^2+1 \) entonces esa función no tiene ceros ya que para cualquier \( x\in \Bbb R  \) tenemos que \( f(x)\geqslant 1 \).

Ahora bien: si el dominio de \( f \) fuese \( \Bbb C  \) en vez de \( \Bbb R  \) entonces tendría dos ceros: uno en \( x_1=i \) y el otro en \( x_2=-i \) ya que \( i^2+1=(-i)^2+1=0 \), pero ya no podríamos representar esa función en un plano XY porque el dominio de \( f \) ya no es una línea como antes sino un plano (el plano complejo). Además ahora la imagen de \( f \) tiene puntos con parte imaginaria como por ejemplo \( f(1+i)=(1+i)^2+1=2i+1 \), y no pueden ser representados en un eje vertical (una línea) necesitas otro plano para ello.

Es decir que si \( f:\Bbb C \to \Bbb C ,\, x\mapsto x^2+1 \) entonces la gráfica de \( f \) tendría cuatro dimensiones, por lo que no podemos representarla de manera sencilla. Hay diversas formas de representar una función compleja, mira por ejemplo aquí:

http://portal.uned.es/pls/portal/url/ITEM/B9A6DC110FCF178AE040660A347006F3
https://tardigrados.wordpress.com/2014/03/07/representacion-grafica-de-funciones-complejas/

Seguramente haya cosas que no entiendas pero la cuestión es que las raíces con parte imaginaria de un polinomio sólo se representan si se entiende que ese polinomio tiene dominio complejo, y en tal caso tendríamos una gráfica de cuatro dimensiones, no de dos como ocurre con funciones reales, por tanto no es fácil de representar.

17 Febrero, 2020, 07:35 pm
Respuesta #4

delmar

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La segunda respuesta me ha quedado muy clara, gracias  :)

En la primera explicas como están definidos los números complejos, y yo entiendo esa "i" como un indicador de que te estas moviendo en el eje Y.

- Pero entonces, ¿esta definición que relación tiene con la igualdad i = \( \sqrt{-1} \) ?

A ver si me explico, supongamos que yo tengo el número z = 2+2i. Dibujándolo en el plano XY obtengo el punto con coordenadas (2,2). ¿Pero hasta que punto es verdad esto si no conocemos el valor de i? Se esta suponiendo que i vale 1 en el eje Y. No se si me explico.

Gracias por contestar. Saludos

i se denomina al número complejo \( (0,1) \) es decir \( i=(0,1) \) por la forma como esta definida la multiplicación de complejos se tiene : \( i^2=(0,1).(0,1)=(-1,0) \) verifica, esto manifiesta por definición que i es una de las raíces cuadradas del complejo \( (-1,0) \), que también es un número real  (carece de parte imaginaria) específicamente es el número real -1; en consecuencia i es una de las raíces cuadradas de -1

Saludos