¿Por qué tan suelto dices que el \( T_h \) es un árbol cuando Luis expuso una demostración más completa e incluso puso un ejemplo (el de NO-árbol)?
Pues porque me habías pedido que te indicara únicamente la modificación necesaria en la redacción, y eso es lo que he hecho.
Con esa redacción, ya queda claro el argumento de la prueba y queda claro que se usa que el grafo \( T_h \) que sale de quitar una rama a \( T_{h+1} \) es un árbol. Se podrá incluir la prueba o no, pero queda patente que se está usando eso. No hay ningún hecho que se use implícitamente sin mencionarlo, como pasa con la redacción del profesor.
En cuanto a si habría que incluir la prueba, es razonable que tu profesor considere que, planteando la prueba con la redacción alternativa, no sea necesario probar que \( T_h \) es un árbol.
Y es una opción razonable. Tú mismo has planteado que la demostración debe concebirse como una referencia de lo que se espera que un alumno haga en un examen si le preguntan eso, y es razonable que el profesor considere adecuado exigir a sus alumnos que demuestren ese resultado con una inducción sencilla y que, a la vez, no considere adecuado exigir que entren en el asunto más técnico de justificar que si a un árbol se le pone o se le quita una ramita seguimos teniendo un árbol, porque eso, por una parte se puede considerar que cualquier alumno puede entender que es cierto pensando intuitivamente qué es un árbol y qué pasa cuando le pones o le quitas una ramita y, por otra parte, formalizarlo requiere un nivel de razonamient más fino que el que pretende exigir a sus alumnos.
Desde un punto de vista lógico, puede parecer raro pedir que se demuestre algo aceptando unos hechos como evidentes que cuestan de probar algo más que lo que se pretende demostrar, pero desde un punto de vista didáctico es razonable pedir que los alumnos muestren su capacidad para desarrollar esa demostración sin entrar en los detalles más técnicos.
Igualmente hay algunas partes (a partir de "Si no agregáramos arista alguna") que no logro modificar para satisfacer tu propuesta, por lo que te pido, si quieres y dispones de tiempo, que copies la demostración del profesor y la adaptes para que en vez de agregar un vértice, quitemos.
Es que ahí pasa lo que te ha dicho Luis, que si lo planteas bien, toda esa parte de la prueba del profesor sobra. En todo caso, lo que habría que probar —como también ha dicho Luis— es que todo árbol tiene al menos un vértice de grado 1 (de hecho dos, y parece que ya conoces una prueba de ello) y que si a un árbol \( T_{h+1} \) le quitas un vértice de grado 1 con su arista obtienes un árbol.
A este respecto, observa que para probar que si \( T_{h+1} \) es un árbol \( T_h \) también lo es, lo fácil es que \( T_h \) no puede tener ciclos (porque un ciclo en \( T_h \) lo sería en \( T_{h+1} \), y lo delicado es probar que sigue siendo conexo, lo que supone probar que un camino en \( T_{h+1} \) que una dos puntos de \( T_h \) no puede pasar por el vértice o la arista eliminados.
En ese sentido y sin hacer leña del árbol caído, ni pretender quitar el título de licenciado a nadie, ni magnificar el error, quizá lo veo algó más de calado que lo que da a entender Carlos aquí:
La verdad es que cuando escribí esa comparación no había vuelto a leer la demostración del profesor y sólo estaba pensando en el hecho de pasar de \( T_h \) a \( T_{h+1} \) en lugar de al revés, pero al releerla y ver todo el razonamiento que hace para justificar que sólo puede añadir una arista, me hubiera pensado dos veces la comparación.
De todos modos, la puse sabiendo que era exagerada porque al releer los últimos mensajes tuve la sensación incómoda de que parecíamos un grupo de comadres rajando a un vecino por una nimiedad y, aunque ciertamente es, no sólo más que un error de cálculo, sino más que lo que estaba pensando cuando escribí eso, me sigue resultando incómodo participar en un hilo así de largo incidiendo en los defectos de la prueba, porque normalmente, cuando se habla mucho de algo suele ser porque es grave e importante, y no creo que sea el caso. Y, siendo el defecto de la prueba algo intermedio entre un error de cálculo y un fallo gordo que induce a pensar que el que escribe no sabe de qué está hablando (o que al menos ese día había bebido algunas copas de más), ante la sensación que tenía de que al leer este hilo pudiera parecer que estábamos (o, al menos, que yo estaba) sugiriendo lo segundo, preferí equipararla a lo primero aun a sabiendas de que no es lo mismo.
Fue un intento —no muy afortunado, ciertamente— de incidir en que no debía verse este hilo como que estábamos "haciendo leña del árbol caído, magnificando el error, etc."
Para sintetizar, lo que escribiré al profesor es que por la redacción de su prueba, es esencial mencionar el hecho de que todo árbol de \( h+1 \) vértices puede obtenerse añadiendo un vértice a uno de \( h \) vértices, porque, en palabras de Carlos, de esa manera oscurece una parte del argumento porque deja a cargo del lector caer en la cuenta de que eso vale porque todo árbol con \( h+1 \) vértices se puede construir a partir de uno con \( h \) vértices. Es una redacción capciosa porque no es que uno pueda verla y preguntar: ¿cómo se justifica ese paso?, sino que la redacción tiende a ocultar que falta un paso, porque ya parte de un planteamiento capcioso al tomar un árbol con \( h \) vértices y aparenta que así está bien y que no hace falta nada más.
Pero eso es justo lo que yo no diría. Corregir la prueba "mencionando el hecho de que todo árbol de \( h+1 \) vértices puede obtenerse añadiendo un vértice a uno de \( h \) vértices" es huir hacia adelante, es corregir un paso en falso con un paso adelante en lugar de con un paso atrás.
Puestos a retocar en algo esa prueba, yo nunca sugeriría añadir lo que dices, sino partir de un árbol con \( h+1 \) vértices y quitarle uno para pasar a un árbol \( T_h \) al que aplicarle la hipótesis de inducción. Ésa es la modificación natural. La que propones es aclarar algo en una demostración oscura en lugar de eliminar la fuente de oscuridad.
