Autor Tema: Subanillos

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16 Febrero, 2020, 11:08 am
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Farifutbol

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Se considera la ecuación \( E:x^2-bx+c=0 \) con b y c enteros y tales que \( b^4-4ac<0 \).
Siendo a un número complejo, se define el conjunto \( {Z}_a \) de los números complejos de la forma \( z=p+qa \) con p y q enteros.
a)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces \( {Z}_a \) es un subanillo de los complejos.
b)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces \( G_a \), el conjunto de los elementos de \( {Z}_a \) inversibles para la multiplicación es subgrupo multiplicativo

17 Febrero, 2020, 01:07 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Se considera la ecuación \( E:x^2-bx+c=0 \) con b y c enteros y tales que \( b^4-\color{red}4ac\color{black}<0 \).

Supongo que es: "tales que \( b^4-\color{red}4c\color{black}<0 \)."

Citar
Siendo a un número complejo, se define el conjunto \( {Z}_a \) de los números complejos de la forma \( z=p+qa \) con p y q enteros.
a)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces \( {Z}_a \) es un subanillo de los complejos.

Por la conocida caracterización de subanillo y dado que claramente \( {Z}_a\subset \Bbb C \) es no vacío, basta ver que si \( z=p+qa \) y \( z'=p'+q'a \) son elementos de \( Z_a \) entonces:

i) \( z-z'\in Z_a \).
ii) \( zz'\in Z_a \).

Para (ii) hay que tener en cuenta que por ser a raíz del polinomio dado: \( a^2=ab-c \). Por lo demás sale de manera inmediata.

Citar
b)Demuestre que si a es una raíz de E, entonces \( G_a \), el conjunto de los elementos de \( {Z}_a \) inversibles para la multiplicación es subgrupo multiplicativo

¡Pero eso es una propiedad general de cualquier anillo \( A \)!. Su conjunto \( U \) de unidades es subgrupo multiplicativo ya que si \( x,y \) son inversibles, \( x^{-1},y^{-1} \) son inversibles (\( (x^{-1})^{-1}=e \)) y \( xy \) es inversible \( ((xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}) \).

Saludos.

18 Febrero, 2020, 07:40 pm
Respuesta #2

Farifutbol

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¡Pero eso es una propiedad general de cualquier anillo \( A \)!. Su conjunto \( U \) de unidades es subgrupo multiplicativo ya que si \( x,y \) son inversibles, \( x^{-1},y^{-1} \) son inversibles (\( (x^{-1})^{-1}=e \)) y \( xy \) es inversible \( ((xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}) \).

Saludos.
Pero, en principio tenemos que demostrar que \( xy^{-1} \) pertenece al subgrupo, y eso no lo has demostrado, no?

19 Febrero, 2020, 07:46 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Pero, en principio tenemos que demostrar que \( xy^{-1} \) pertenece al subgrupo, y eso no lo has demostrado, no?

Las condiciones:

i) \( x,y\in U\quad \Rightarrow{}\quad xy\in U \).
ii) \( x\in U\quad \Rightarrow{}\quad x^{-1}\in U \)

Equivalen a:

iii)  \( x,y\in U\quad \Rightarrow{}\quad xy^{-1}\in U \).

Spoiler
En particular que las dos primeras implican las terceras es: si \( x,y\in U \), por (ii) se cumple \( y^{-1}\in U \) y entonces por (i), \( xy^{-1}\in U \).
[cerrar]

Todo esto es teoría estándar de grupos y subgrupos.

Saludos.