Autor Tema: Asturias 2018: Problema 3. Sucesiones recurrentes

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14 Febrero, 2020, 07:11 pm
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poolnikov

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Sean \( \left\{{u_n}\right\} \) y \( \{v_n\} \) dos sucesiones con \( a+b\not=0 \) tales que:
   
         \( u_1=a  \)
    \( \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n+v_n} \)
           
       
   
         \( v_1=b \)
    \( \\ u_{n+1}=\dfrac{v_n^2}{u_n+v_n} \)
           
   


    a) Si \( a=b \) entonces  calcular \( \lim\limits_{n \to \infty}u_n \) y \( \lim\limits_{n \to \infty}v_n \)
   b) Si \( |b|<|a| \) demostrar que las dos sucesiones son convergentes.
    c) Si \( |b|<|a| \) calcular \( \lim\limits_{n \to \infty}u_n  \)y \( \lim\limits_{n \to \infty}v_n \)


Un saludo a todos.



14 Febrero, 2020, 09:58 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Creo que el enunciado tiene una errata que he corregido en rojo. Por lo demás apunto un esbozo de mi solución.


Sean \( \left\{{u_n}\right\} \) y \( \{v_n\} \) dos sucesiones con \( a+b\not=0 \) tales que:
   
         \( u_1=a  \)
    \( \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n+v_n} \)
           
         \( v_1=b \)
    \( \\ \color{red}v_{n+1}\color{black}=\dfrac{v_n^2}{u_n+v_n} \)
           
 
    a) Si \( a=b \) entonces  calcular \( \lim\limits_{n \to \infty}u_n \) y \( \lim\limits_{n \to \infty}v_n \)

Spoiler
Si \( a=b \) es inmediato probar por inducción que \( u_n=v_n \). En ese caso la recurrencia es:

\( u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2u_n}=\dfrac{u_n}{2} \)

 de donde:

\(  |u_n|=\dfrac{|a|}{2^{n-1}} \)

 y por tanto ambas sucesiones convergen a cero.
[cerrar]

Citar
   b) Si \( |b|<|a| \) demostrar que las dos sucesiones son convergentes.
    c) Si \( |b|<|a| \) calcular \( \lim\limits_{n \to \infty}u_n  \)y \( \lim\limits_{n \to \infty}v_n \)

Spoiler
Restando las sucesiones se tiene que:

\( u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{u_n^2-v_n^2}{u_n+v_n}=u_n-v_n \)

Por tanto las dos sucesiones se diferencian en una constante:

\( u_n-v_n=a-b \)

La convergencia de una equivale a la convergencia de la otra y pueden reescribirse como:

\( u_1=a,\qquad u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2u_n+b-a} \)

\( v_1=b,\qquad v_{n+1}=\dfrac{v_n^2}{2v_n+a-b} \)

1) Si \( a+b>0 \) y \( |a|>|b| \) entonces \( a-b>0 \). Además:

\( u_2=\dfrac{a^2}{a+b}\geq 0,\qquad v_2=\dfrac{b^2}{a+b}\geq 0 \)

y es inmediato entonces por inducción que \( u_n,v_n\geq 0 \) para \( n>1 \).

Entonces:

\(  v_{n+1}=\dfrac{v_n^2}{2v_n+a-b}<\dfrac{v_n^2}{2v_n}=\dfrac{v_n}{2} \)

Por tanto \( 0\leq v_{n+1}<\dfrac{v_2}{2^{n-2}} \) y así por el Teorema del Sándwich la sucesión \( v_n \) es convergente y su límite es cero.

Entonces \( u_n \) también converge y el límite es \( a-b \).

2) El caso \( a+b<0 \) es análogo.
[cerrar]

Saludos.

15 Febrero, 2020, 05:54 pm
Respuesta #2

poolnikov

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Gracias el_manco.

saludos a todos