Autor Tema: El conjunto de discontinuidades de f en A ¿es un conjunto abierto o cerrado?

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14 Febrero, 2020, 01:04 pm
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RicardoSaldañaM

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Buen día, necesito ayuda para este problema de Cálculo Integral de Varias Variables en la parte de la integral de Riemann.

Sea \( A = [0,1]\times[0,1] \), \( f : A\xrightarrow{}\mathbb{R} \) acotada en \( A \). Di si el conjunto \( D_{f,A} \) de las discontinuidades de \( f \) en \( A \) es un conjunto abierto o cerrado. Argumenta tu respuesta.

14 Febrero, 2020, 01:18 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buen día, necesito ayuda para este problema de Cálculo Integral de Varias Variables en la parte de la integral de Riemann.

Sea \( A = [0,1]\times[0,1] \), \( f : A\xrightarrow{}\mathbb{R} \) acotada en \( A \). Di si el conjunto \( D_{f,A} \) de las discontinuidades de \( f \) en \( A \) es un conjunto abierto o cerrado. Argumenta tu respuesta.

¿Eres capaz de definir una función que sólo sea discontinua en un punto? Si. El conjunto de discontinuidades puede ser cerrado.
¿Eres capaz de definir una función que sea discontinua en todo punto?. Si. El conjunto de discontinuidades puede ser abierto (también se puede en abiertos que no sean el total).

¿Eres capaz de definir una función que sea discontinua en un conjunto que no sea ni abierto ni cerrado?.

Por ejemplo:

\( f:[0,1]\longrightarrow{}\Bbb R \)

\( f(x)=\begin{cases} x & \text{si}& 1/x\in \Bbb N\\0 & \text{si}& 1/x\not\in \Bbb N\end{cases} \)

es discontinua en la sucesión \( \{1/n\} \), que no es ni abierta ni cerrada en \( [0,1] \). Puedes construir un ejemplo análogo en \( \Bbb R^2 \).

Saludos.

12 Marzo, 2020, 06:05 am
Respuesta #2

RicardoSaldañaM

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Hola

Buen día, necesito ayuda para este problema de Cálculo Integral de Varias Variables en la parte de la integral de Riemann.

Sea \( A = [0,1]\times[0,1] \), \( f : A\xrightarrow{}\mathbb{R} \) acotada en \( A \). Di si el conjunto \( D_{f,A} \) de las discontinuidades de \( f \) en \( A \) es un conjunto abierto o cerrado. Argumenta tu respuesta.

¿Eres capaz de definir una función que sólo sea discontinua en un punto? Si. El conjunto de discontinuidades puede ser cerrado.
¿Eres capaz de definir una función que sea discontinua en todo punto?. Si. El conjunto de discontinuidades puede ser abierto (también se puede en abiertos que no sean el total).

¿Eres capaz de definir una función que sea discontinua en un conjunto que no sea ni abierto ni cerrado?.

Por ejemplo:

\( f:[0,1]\longrightarrow{}\Bbb R \)

\( f(x)=\begin{cases} x & \text{si}& 1/x\in \Bbb N\\0 & \text{si}& 1/x\not\in \Bbb N\end{cases} \)

es discontinua en la sucesión \( \{1/n\} \), que no es ni abierta ni cerrada en \( [0,1] \). Puedes construir un ejemplo análogo en \( \Bbb R^2 \).

Saludos.

Muchas gracias, por la ayuda. Me sirvió de mucho. Saludos.