Autor Tema: Probar isomorfía cuando la dimensión es "grande"

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14 Febrero, 2020, 06:27 am
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FerOliMenNewton

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Hola a todos, consideremos el álgebra de Lie Ortogonal \( o(5;\mathbb{R})=\left\{{A\in{gl(5;\mathbb{R})}: A=-A^{T}}\right\} \) y el álgebra de Lie \( sp_{2}=\left\{{\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{-A^{T}}\end{bmatrix}} : B=B^{T},C=C^{T}, \textrm{ y } A,B,C\in{M_{2}(\mathbb{R})} \right\} \).
Me interesa probar estas álgebras son isomorfas, primero notemos que las dimensiones coinciden por lo que podemos hablar de un posible isomorfismo, primero intenté probar que existían bases en las cuales los coeficientes de estructura coinciden pero el problema con esa idea es que la dimensión es \( 10 \), no parece muy eficaz ni "elegante"  , también intenté "adivinar" un isomorfismo pero no se me ocurre alguno que sea realmente obvio :(, también intenté meter alguno de los teoremas de isomorfía pero tampoco me pareció muy obvio a primera vista  , podrían darme algún consejo por favor?
Les agradezco y por favor perdonen la molestia.
Saludos.

15 Febrero, 2020, 01:50 am
Respuesta #1

SebasMM

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Hola
Apenas sé lo básico de álgebras de Lie, pero no veo cómo puedas librarte de las cuentas ,creo que debes proseguir con tu primera idea : hallar unas bases adecuadas, efectivamente será muy latoso.
Saludos.

15 Febrero, 2020, 08:59 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos, consideremos el álgebra de Lie Ortogonal \( o(5;\mathbb{R})=\left\{{A\in{gl(5;\mathbb{R})}: A=-A^{T}}\right\} \) y el álgebra de Lie \( sp_{2}=\left\{{\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{-A^{T}}\end{bmatrix}} : B=B^{T},C=C^{T}, \textrm{ y } A,B,C\in{M_{2}(\mathbb{R})} \right\} \).
Me interesa probar estas álgebras son isomorfas, primero notemos que las dimensiones coinciden por lo que podemos hablar de un posible isomorfismo, primero intenté probar que existían bases en las cuales los coeficientes de estructura coinciden pero el problema con esa idea es que la dimensión es \( 10 \), no parece muy eficaz ni "elegante"  , también intenté "adivinar" un isomorfismo pero no se me ocurre alguno que sea realmente obvio :(, también intenté meter alguno de los teoremas de isomorfía pero tampoco me pareció muy obvio a primera vista  , podrían darme algún consejo por favor?

La forma usual de probar este isomorfismo no es tan obvia. Puedes leer por aquí:

https://www.math.cuhk.edu.hk/~plyung/isom_LieAlg.pdf

Saludos.

16 Febrero, 2020, 12:10 am
Respuesta #3

FerOliMenNewton

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Hola

Hola a todos, consideremos el álgebra de Lie Ortogonal \( o(5;\mathbb{R})=\left\{{A\in{gl(5;\mathbb{R})}: A=-A^{T}}\right\} \) y el álgebra de Lie \( sp_{2}=\left\{{\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{-A^{T}}\end{bmatrix}} : B=B^{T},C=C^{T}, \textrm{ y } A,B,C\in{M_{2}(\mathbb{R})} \right\} \).
Me interesa probar estas álgebras son isomorfas, primero notemos que las dimensiones coinciden por lo que podemos hablar de un posible isomorfismo, primero intenté probar que existían bases en las cuales los coeficientes de estructura coinciden pero el problema con esa idea es que la dimensión es \( 10 \), no parece muy eficaz ni "elegante"  , también intenté "adivinar" un isomorfismo pero no se me ocurre alguno que sea realmente obvio :(, también intenté meter alguno de los teoremas de isomorfía pero tampoco me pareció muy obvio a primera vista  , podrían darme algún consejo por favor?

La forma usual de probar este isomorfismo no es tan obvia. Puedes leer por aquí:

https://www.math.cuhk.edu.hk/~plyung/isom_LieAlg.pdf

Saludos.
Hola Luis, muchas gracias por tu respuesta.
Ya veo.... muchas gracias por mandarme el link :) , me será muy útil.
Saludos.