Autor Tema: Hallar la forma trigonométrica

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14 Febrero, 2020, 03:18 am
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nktclau

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Hola GENTE!! necesito de vuestra valiosa ayuda, por favor, con el siguiente ejercicio.


Para el siguiente número complejo calcular su forma trigonométrica para \( n=2 \)  y para \( n=3 \) \( \left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)+cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \cdot i^n\right]^{-2} \)

Si \( \color\blue n=2 \Longrightarrow{i^2=-1}\color\black \) y por lo tanto \( \left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)- cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2} \).

Este número complejo es un número real pues tiene la parte imaginaria nula.

Sea \( z=sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \)

\( |z|=\sqrt[ ]{\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)\right]^2} \)

Como \( sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \approx{-0,467} <0 \) Podemos concluir \( \alpha=Arg(Z)=\pi \). Luego  \( z=|z|cis (\pi)\Longrightarrow{\alpha=\displaystyle\frac{23}{14}\pi} \)

\( z^{-2}=\left[|z| cis (\pi) \right]^{-2}\underbrace{=}_{DeMoivre}|z|^{-2} cis (-2 \cdot \pi) \)

Como \( 0\leq{Arg(w)\leq{2\pi}} \) entonces \( z^{-2}= |z|^{-2} cis (2\pi) \) ¿Es correcto?  ??? ???

Si \( \color\blue n=3 \Longrightarrow{i^3=-i}\color\black \) y por lo tanto \( \left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)+(-i) \cdot cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2}=\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right)-i \cdot cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right) \right]^{-2} \).

\( |z|=\sqrt[ ]{\left[sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \right]^2 + \left[cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{7}\right) \right]^2}=1 \)

Sea \( \alpha=Arg(z) \) y \( \alpha'=Arctg\left(\displaystyle\frac{cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)}{sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{7} \right)} \right)=\displaystyle\frac{5}{14}\pi \)

Por lo tanto \( \alpha=\displaystyle\frac{23}{14}\pi \)

Luego \( z= cis \left(\displaystyle\frac{23}{14}\pi\right) \)

\( z^{-2}=\left[cis \left(\displaystyle\frac{23}{14}\pi \right) \right]^{-2}=cis \left(\displaystyle\frac{-23}{7}\pi \right) \) Como \( 0\leq{Arg(w)\leq{2\pi}} \) le quitamos un giro a este argumento que no satisface la definición y nos queda \( \lambda=\displaystyle\frac{-9}{7}\pi \), ahora debemos hacerlo positivo.

Si a \( \displaystyle\frac{-9}{7}\pi+2\pi=\displaystyle\frac{5}{7}\pi \)

Así \( cis \left(\displaystyle\frac{5}{7}\pi \right) \) es correcto?   ??? ???

Desde ya muchísimas gracias!!

Saludos

14 Febrero, 2020, 05:06 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

El primero está bien, yo me quedaría con Arg(Z)=0, pero hay que seguir las instrucciones de tu profesor.


A ver el segundo usando la forma exponencial

\( Z=\dfrac{1}{(sen(\frac{\pi}{7})-icos(\frac{\pi}{7}))^2}=\dfrac{1}{(-i(cos(\frac{\pi}{7})+isen(\frac{\pi}{7})))^2}=\dfrac{1}{(e^{-i\frac{\pi}{2}}\cdot e^{i(\frac{\pi}{7})})^2}=\dfrac{1}{(e^{-i\frac{5\pi}{14}})^2}=\dfrac{1}{e^{-i\frac{5\pi}{7}}}=\bf e^{i\frac{5\pi}{7}} \)

Obtengo el mismo resultado, debe estar bien.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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14 Febrero, 2020, 02:19 pm
Respuesta #2

nktclau

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GENIO Ingmarov MILLÓN DE GRACIAS!!!  :aplauso: :aplauso: :aplauso: ;)

14 Febrero, 2020, 04:40 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Hola
GENIO Ingmarov MILLÓN DE GRACIAS!!!  :aplauso: :aplauso: :aplauso: ;)
;D ;D ya quisiera yo  ser un genio... No lo soy.

No le tengas miedo a esta materia, eres lista y si te calmas la superarás fácilmente.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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16 Febrero, 2020, 02:44 am
Respuesta #4

nktclau

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