Autor Tema: Duda variable compleja

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13 Febrero, 2020, 04:19 pm
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MatMiki

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Buenas tardes, tengo una duda acerca del siguiente enunciado.

Dada \(  f:\mathbb{D}\rightarrow{\mathbb{C}}  \) continua, holomorfa en \( \mathbb{D} \) y con \( \left |{f(z)}\right | = 1 \), \( \forall{z} \in{frontera(D)} \). Sabemos que si \( f \) no tiene ceros en el disco abierto, entonces es constante. ¿Es cierto que \( f \) tiene a lo sumo un número finito de ceros en \( \mathbb{D} \)?

13 Febrero, 2020, 04:27 pm
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. Nota que si hay un número infinito de ceros, entonces puedes encontrar una sucesión de ceros que converge a algún punto dentro de D (porque éste es compacto). La sucesión no converge a un punto de la frontera de D porque f es 1 ahí. Tienes entonces que f es constante igual a 0 en el disco abierto, y 1 en la frontera.

13 Febrero, 2020, 05:16 pm
Respuesta #2

MatMiki

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Hola. Nota que si hay un número infinito de ceros, entonces puedes encontrar una sucesión de ceros que converge a algún punto dentro de D (porque éste es compacto). La sucesión no converge a un punto de la frontera de D porque f es 1 ahí. Tienes entonces que f es constante igual a 0 en el disco abierto, y 1 en la frontera.





¡Muchas  gracias! Siguiendo con el tema, ¿cómo podría probar que existen \(  c \in{\mathbb{frontera(D)}}, k \geq{0}, N \geq{0}, a_1, a_2, \ldots, a_N \in{\mathbb{D}} \) (no necesariamente distintos), tales que \( f(z)=cz^k\displaystyle\prod_{n=1}^{N}{\displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}}, \forall{z } \in{\overline{\mathbb{D}}}  \)?

14 Febrero, 2020, 07:51 pm
Respuesta #3

Gustavo

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¡Muchas  gracias! Siguiendo con el tema, ¿cómo podría probar que existen \(  c \in{\mathbb{frontera(D)}}, k \geq{0}, N \geq{0}, a_1, a_2, \ldots, a_N \in{\mathbb{D}} \) (no necesariamente distintos), tales que \( f(z)=cz^k\displaystyle\prod_{n=1}^{N}{\displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}}, \forall{z } \in{\overline{\mathbb{D}}}  \)?

No hay de qué. Para el otro problema puedes definir \( g(z)= \displaystyle\frac{f(z)}{z^k\displaystyle\prod_{n=1}^{N}{\displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}}} \) donde los \( a_n \) son los ceros de \( f \) tomados con su multiplicidad, y k es la multiplicidad de 0 si \( f(0)=0 \).

Nota que \( g \) es holomorfa y que alcanza su máximo en la frontera (por el principio de módulo máximo). Además no tiene ceros, así que \( 1/g \) también tiene su máximo (que sería el mínimo de \( g \)) en la frontera. Prueba entonces que \( |g(z)|=1 \) para \( z \) en la frontera de \( D \). Primero muestra que eso es cierto para cada \( \displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z} \).

Una vez ahí, se sigue que \( g \) tiene módulo constante 1 en \( D \), por lo que tiene que ser constante (ya que es holomorfa).

Añadido.

17 Febrero, 2020, 05:18 pm
Respuesta #4

MatMiki

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Pero \(  \displaystyle\frac{z-a_n}{1-\overline{a_n}z}  \) tendrá ceros en los \(  a_n  \), luego no podría dividir a f, ¿no?

17 Febrero, 2020, 06:13 pm
Respuesta #5

Gustavo

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Los \( a_n \) son los ceros de \( f \).

Spoiler
Debí haberlo escrito. ::)
Lo añadí a mi respuesta anterior.
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17 Febrero, 2020, 06:18 pm
Respuesta #6

MatMiki

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Cierto, gracias de nuevo!!! :D