Autor Tema: Intervalos de confianza

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13 Febrero, 2020, 09:48 am
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ivangranados

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Sea \( (X_1,X_2) \) una muestra aleatoria simple de tamaño 2 de la variable aleatoria X que
sigue una distribución Normal con media cero y varianza \( 1/θ \) siendo θ un parámetro
desconocido. Consideramos la siguiente función de la muestra
\( T(X1,X2) = 1/2(X_1^2+X_2^2) \)
2 ) Se pide:
a) Calcular la distribución de \( 2θT (X_1,X_2) \).
b) Hallar un intervalo de confianza basado en \( 2θT (X_1,X_2) \) para el parámetro θ y para
un nivel \( 1 − \alpha \) con \( \alpha ∈ (0, 1) \).

13 Febrero, 2020, 11:30 am
Respuesta #1

geómetracat

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Define \( Z_1= \frac{X_1}{\sqrt{\theta}} \) y \( Z_2= \frac{X_2}{\sqrt{\theta}} \). Tanto \( Z_1 \) como \( Z_2 \) tienen una distribución normal estándar, \( N(0,1) \). Como \( X_1,X_2 \) son independientes, también lo son \( Z_1,Z_2 \). Así pues, \( Z_1^2+Z_2^2 \) tiene una distribución chi cuadrado con \( 2 \) grados de libertad.

Así pues,
\( 2 \theta T(X_1,X_2)= \theta (X_1^2+X_2^2) = Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2_2. \)

Para encontrar el intervalo de confianza, impones:
\( 1- \alpha = P(\chi^2_{2,(1-\alpha)/2} \leq 2\theta T(X_1,X_2)\leq \chi^2_{2, \alpha/2}) = P\left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} \leq \theta \leq \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right) \)

Así pues, el intervalo de confianza al nivel \( 1-\alpha \) es
\( \left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} , \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Febrero, 2020, 01:36 pm
Respuesta #2

ivangranados

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Muchas gracias por tu ayuda. Un saludo


Define \( Z_1= \frac{X_1}{\sqrt{\theta}} \) y \( Z_2= \frac{X_2}{\sqrt{\theta}} \). Tanto \( Z_1 \) como \( Z_2 \) tienen una distribución normal estándar, \( N(0,1) \). Como \( X_1,X_2 \) son independientes, también lo son \( Z_1,Z_2 \). Así pues, \( Z_1^2+Z_2^2 \) tiene una distribución chi cuadrado con \( 2 \) grados de libertad.

Así pues,
\( 2 \theta T(X_1,X_2)= \theta (X_1^2+X_2^2) = Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2_2. \)

Para encontrar el intervalo de confianza, impones:
\( 1- \alpha = P(\chi^2_{2,(1-\alpha)/2} \leq 2\theta T(X_1,X_2)\leq \chi^2_{2, \alpha/2}) = P\left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} \leq \theta \leq \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right) \)

Así pues, el intervalo de confianza al nivel \( 1-\alpha \) es
\( \left(\frac{\chi^2_{2,(1-\alpha)/2}}{2T(X_1,X_2)} , \frac{\chi^2_{2,\alpha/2}}{2T(X_1,X_2)}\right) \).