Autor Tema: Espacio vectorial

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12 Febrero, 2020, 10:08 pm
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mg

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Sea \( F \) el conjunto de las funciones reales definidas en el intervalo \( [0,1] \) tales que \( 2f(0)=f(1) \). Prueba que forma un espacio vectorial en \( \mathbb{R} \).

He intentado empezar asi:
Sean \( f,g\in{F} \) y \( x,y\in{[0,1]} \)entonces como \( f(x)\in{\mathbb{R}} \) y \( g(y)\in{\mathbb{R}} \) y \( (\mathbb{R},+) \) es una operacion interna se tiene que  \( (f(x)+g(y))\in{\mathbb{R}} \).
Sean \( f\in{F} \),\( x,\in{[0,1]} \) y sea \( b\in{\mathbb{R}} \) entonces como \( (\mathbb{R},*) \) es una operacion interna se tiene que \( bf(x)\in{\mathbb{R}} \)
Sin embargo casi con total seguridad no estoy en lo cierto ya que el dato de \( 2f(0)=f(1) \) no lo uso y eso no es buena señal, pero tampoco se como usarlo sin perder la generalidad. Agradeceria que me echaran una mano, gracias.

12 Febrero, 2020, 11:40 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Sea \( F \) el conjunto de las funciones reales definidas en el intervalo \( [0,1] \) tales que \( 2f(0)=f(1) \). Prueba que forma un espacio vectorial en \( \mathbb{R} \).

He intentado empezar asi:
Sean \( f,g\in{F} \) y \( x,y\in{[0,1]} \)entonces como \( f(x)\in{\mathbb{R}} \) y \( g(y)\in{\mathbb{R}} \) y \( (\mathbb{R},+) \) es una operacion interna se tiene que  \( (f(x)+g(y))\in{\mathbb{R}} \).
Sean \( f\in{F} \),\( x,\in{[0,1]} \) y sea \( b\in{\mathbb{R}} \) entonces como \( (\mathbb{R},*) \) es una operacion interna se tiene que \( bf(x)\in{\mathbb{R}} \)
Sin embargo casi con total seguridad no estoy en lo cierto ya que el dato de \( 2f(0)=f(1) \) no lo uso y eso no es buena señal, pero tampoco se como usarlo sin perder la generalidad. Agradeceria que me echaran una mano, gracias.


Tienes que mostrar que las funciones que cumplen \( 2f(0)=f(1) \) forman un espacio vectorial, es decir, que si \( c f+g=h \) para algún \( c\in \Bbb R  \), entonces \( 2h(0)=h(1) \) cuando \( 2f(0)=f(1) \) y \( 2g(0)=g(1) \).

12 Febrero, 2020, 11:56 pm
Respuesta #2

mg

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vale, creo que lo tengo
 
sean \( f,g\in{F} \) y \( c\in{\mathbb{R}} \) si
\( cf+g=h \) entonces \( h(1)=cf(1)+g(1)=2(cf(0)+g(0))=2h(0) \)
lo que no me queda claro es como definir h porque si digo desde el principio que \( \in{F} \) entonces ya habria acabado

13 Febrero, 2020, 12:07 am
Respuesta #3

Masacroso

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vale, creo que lo tengo
 
sean \( f,g\in{F} \) y \( c\in{\mathbb{R}} \) si
\( cf+g=h \) entonces \( h(1)=cf(1)+g(1)=2(cf(0)+g(0))=2h(0) \)
lo que no me queda claro es como definir h porque si digo desde el principio que \( \in{F} \) entonces ya habria acabado

No tienes que decir nada, es decir, \( h \) es una función cualquiera definida por combinación lineal de otras dos que sí pertenecen a \( F \). Observa que \( h \) es una función real bien definida, es decir, cumple la definición de función real.

13 Febrero, 2020, 12:12 am
Respuesta #4

mg

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muchas gracias ya me quedo todo superclaro

13 Febrero, 2020, 08:42 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( F \) el conjunto de las funciones reales definidas en el intervalo \( [0,1] \) tales que \( 2f(0)=f(1) \). Prueba que forma un espacio vectorial en \( \mathbb{R} \).

He intentado empezar asi:
Sean \( f,g\in{F} \) y \( x,y\in{[0,1]} \)entonces como \( f(x)\in{\mathbb{R}} \) y \( g(y)\in{\mathbb{R}} \) y \( (\mathbb{R},+) \) es una operacion interna se tiene que  \( (f(x)+g(y))\in{\mathbb{R}} \).
Sean \( f\in{F} \),\( x,\in{[0,1]} \) y sea \( b\in{\mathbb{R}} \) entonces como \( (\mathbb{R},*) \) es una operacion interna se tiene que \( bf(x)\in{\mathbb{R}} \)
Sin embargo casi con total seguridad no estoy en lo cierto ya que el dato de \( 2f(0)=f(1) \) no lo uso y eso no es buena señal, pero tampoco se como usarlo sin perder la generalidad. Agradeceria que me echaran una mano, gracias.

Sólo un añadido; aunque es muy inmediato tienes que probar también que el conjunto dado es no vacío. En particular que contiene al vector (a la función) cero. Es obvio porque ésta cumple \( 2f(0)=0=f(1) \).

Saludos.