Autor Tema: W isomorfo a V, suma directa y bicondicional

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12 Febrero, 2020, 11:35 pm
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JoanL

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Hola a todos.
Estudiando para mi parcial de álgebra lineal, me encontré con estos ejercicios interesantes pero que no he podido resolver:
1) Sea \( T:V\longrightarrow{}W \) una transformación lineal inyectiva. Muestre que \( W \) tiene un subespacio isomorfo a \( V \).

2)Sea \( U \) un espacio vectorial y  \( T:U\longrightarrow{}U \) una transformación lineal tal que \( T \circ{} T = T \). Sea
\( W \)\( = \){\( x\in{}U:T(x)=x \)} y \( V \)\( = \){\( x\in{}U:T(x)= \) 0}. Muestre que:
 a. \( U=V\oplus{}W \)
 b. \( T(U)=W \)
 c. \( T(V)= \)0

3)Muestre que una función \( T:\mathbb{R}^n\longrightarrow{}\mathbb{R} \) es una transformación lineal si y solamente si existen escalares de \( a_1,...,a_n \) tales que
                                                                \( T(x_1,...,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}(a_i x_i) \)
Intenté en 1) nombrar a un conjunto como el generado de una base de W, pero me perdí un poco.
Les agradecería mucho su ayuda.
Saludos.

13 Febrero, 2020, 01:07 am
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola, para el 3)

Si \( T(x)=\sum a_i x_i \), entonces:
\begin{align*}T(\alpha x+\beta y)=  a_1(\alpha x_1+\beta y_1)+\ldots+a_n(\alpha x_n+\beta y_n)=\\
\alpha a_1x_1+\ldots +\alpha a_n x_n+\beta a_1 y_1+\ldots+\beta a_n y_n=\\
\alpha (a_1x_1+\ldots + a_n x_n)+ \beta( a_1 y_1+\ldots+a_ny_n)=\\
\alpha T(x)+\beta T(y)
\end{align*}

Si \( T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y) \), y siendo \( \{u_i\} \) una base de \( \mathbb{R}^n \), entonces:
\begin{align*}T(x)=T(\sum x_i u_i)=T(x_1u_1+\ldots +x_n u_n)=\\
x_1 T(u_1)+\ldots + x_n T(u_n)=\begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{T(u_1)|}&{\ldots}&{|T(u_n)}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}{x_1}\\{\vdots}\\{x_n}\end{array}\right]=
\begin{bmatrix}{b_{11}}&{\dots}&{b_{1n}}\\{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{b_{n1}}&{\dots}&{b_{nn}}\end{bmatrix}\left[\begin{array}{ccc}{x_1}\\{\vdots}\\{x_n}\end{array}\right]=\\
b_{11} x_1+\ldots +b_{1n}x_n+\ldots +& \\
+ b_{i1}x_1+\ldots+b_{in}x_n+\ldots+& \\
+b_{n1}x_1+\ldots+ b_{nn}x_n =\\
(b_{11}+\ldots + b_{i1}+\ldots+b_{n1})x_1+\ldots+\\
(b_{1n}+\ldots+b_{in}+\ldots + b_{nn})x_n=\\
(\sum_{i=1}^n b_{i1})x_1+\ldots +(\sum_{i=1}^n b_{in})x_n=\\
\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n b_{ij}x_j=\sum_{i=1}^n a_i x_i
\end{align*}

13 Febrero, 2020, 08:28 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos.
Estudiando para mi parcial de álgebra lineal, me encontré con estos ejercicios interesantes pero que no he podido resolver:
1) Sea \( T:V\longrightarrow{}W \) una transformación lineal inyectiva. Muestre que \( W \) tiene un subespacio isomorfo a \( V \).

Directamente el subespacio imagen, \( Im(W) \) es isomorfo a \( V \) mediante la propia restricción de la aplicación \( T \):

\( T':V\to Im(T),\qquad T'(v)=T(v) \)

que es lineal e inyectiva por serlo \( T \) y obviamente sobreyectiva. Por tanto un isomorfismo.

Citar
2)Sea \( U \) un espacio vectorial y  \( T:U\longrightarrow{}U \) una transformación lineal tal que \( T \circ{} T = T \). Sea
\( W \)\( = \){\( x\in{}U:T(x)=x \)} y \( V \)\( = \){\( x\in{}U:T(x)= \) 0}. Muestre que:
 a. \( U=V\oplus{}W \)
 b. \( T(U)=W \)
 c. \( T(V)= \)0

Tienes que probar que \( V\cap W=\{\vec 0\} \). Es muy inmediato. Compruébalo.

Y que \( U=V+W, \) es decir, que todo vector \( \vec u\in U \) puedes escribirse como suma de uno de \( V \) y otro de \( W \).

Pero nota que:

\( \vec u=T(\vec u)+\vec u-T(\vec u) \)

y verifica que \( T(\vec u)\in W \) y \( \vec u-T(\vec u)\in V \).
 
Para (b) aplica (a). (c) es inmediato.

Para la segunda parte de lo que hace Bobby Fischer es un poco más inmediato trabajando directamente con la base canónica. Es decir:

\( T(x_1,x_2,\ldots,x_n)=T(x_1(1,0,\ldots,0)+x_2(0,1,\ldots,0)+\ldots+x_n(0,0,\ldots,1))=\\
=x_1\underbrace{T(1,0,\ldots,0)}_{a_1}+x_2\underbrace{T(0,1,\ldots,0)}_{a_2}+\ldots+x_n\underbrace{T(0,0,\ldots,1)}_{a_n} \)

Saludos.