Autor Tema: Diagramas de Venn

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17 Marzo, 2020, 05:55 pm
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tobias

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 Buenos días.
He intentado resolver este problema, aplicando el diagrama de Venn, no he podido. Si alguien me puede colaborar, le estaré muy agradecido.
 
En una población, el 45% de los habitantes lee las revistas A o B pero no las 2 a la vez; el 75% no lee la revista B; el 50% no lee A y     
 4 800 personas lee A y B. ¿Cuántos habitantes hay en la población?

18 Marzo, 2020, 10:49 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
En una población, el 45% de los habitantes lee las revistas A o B pero no las 2 a la vez; el 75% no lee la revista B; el 50% no lee A y  4 800 personas lee A y B. ¿Cuántos habitantes hay en la población?

No hace falta recurrir a diagramas de Venn. Sea \( U \) es el conjunto universal, \( \left |{\;}\right | \) denota el cardinal, \( \sqcup \) denota la unión disjunta, y \( \Delta \) la diferencia simétrica. Tenemos los datos:

          \( \left |{U}\right |=x,\; \left |{A\Delta B}\right |=0.45 x,\;\left |{B^c}\right |=0.75 x,\; \left |{A^c}\right |=0.5x,\; \left |{A\cap B}\right |=4800. \)

Se verifica \( A\cup B=(A\Delta B)\sqcup (A\cap B) \), por tanto \( \left |{A\cup B}\right |=\left |{A\Delta B}\right |+ \left |{A\cap B}\right | \). En consecuencia,

         \( \left |{A\cup B}\right |=0.45 x+ 4800. \)

Por otra parte,

          \( \left |{A\cup B}\right |=\left |{A}\right |+\left |{B}\right |-\left |{A\cap B}\right |=0.5x+0.25 x-4800. \)

De la igualdad \( 0.5x+0.25 x-4800=0.45 x+ 4800 \), obtendrás \( x=32000. \)