Autor Tema: Reducción al absurdo y negación de implicac

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04 Noviembre, 2019, 05:21 pm
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conchivgr

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Hola.

Cuando estamos demostrando matemáticamente una implicación,

cuál es la diferencia entre razonar por reducción al absurdo y negar la implicación?.

Es "negar la implicación" un caso particular del razonamiento por "reducción al absurdo"?.

Es decir, si tenenos que demostrar \( A\longrightarrow{B} \), de las dos formas empezaremos suponiendo que \( B \) es falso, es decir, negando \( B \).

En un caso (negando la implicación), llegamos a la negación de \( A \), que si desde el principio la tomamos como verdadera, estamos llegando a una contradicción.

Diría que negando la implicación hay que llegar a la negación de \( A \), y razonando por reducción al absurdo, basta con llegar a una contaradicción lógica cualquiera, que acaba por negar \( A \), pero no de forma directa.

Mi conclusión es que la negación de la implicación es un caso particular del razonamiento por reducción al absurdo.

Es esto correcto?.

Besos.

04 Noviembre, 2019, 06:06 pm
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

Supongo que te refieres a probar el contrarrecíproco.

Te dejo esto por si te ayuda:

Supongamos que quieres probar la implicación \( p\rightarrow{q} \). Entonces, si tienes \( p \) y \( \neg q \) deberías llegar a contradicción. Supongamos que en efecto ocurre así. Entonces:

\( (p\wedge \neg q)\rightarrow 0 \Longleftrightarrow (p\wedge \neg q)=0\Longleftrightarrow \neg (p\wedge \neg q)=1\Longleftrightarrow \neg \neg (\neg p\vee q)=1\Longleftrightarrow (p\rightarrow{q})=1 \)


\( (p\rightarrow{q})\Longleftrightarrow \neg p \vee q\Longleftrightarrow \neg q \rightarrow{\neg p} \)

He usado \( p \) y \( q \) para no confundir \( A \) y \( B \) de teoría de conjuntos.

Saludos.

04 Noviembre, 2019, 06:19 pm
Respuesta #2

Bobby Fischer

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Porque tener \( p\wedge \neg q \wedge (p\rightarrow q)\rightarrow \neg q \wedge q=0  \).

Tú partes de \( p\wedge \neg q \) y llegas a \( 0 \).

Pero esa contradicción se da si y sólo si \( p\rightarrow{q} \) es cierta.

04 Noviembre, 2019, 08:18 pm
Respuesta #3

conchivgr

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Hola.
Muchísimas gracias. 
Por lo tanto,  partiendo de que la implicación es cierta,  son equivalentes.
Muchas gracias.
Besos.