[alucard]

hola tengo una duda con este ejercicio  ,

Analizar la existencia de la función potencial en el dominio natural de 

\( f(x,y)=(\dfrac{-3y}{x^2+y^2},\dfrac{3x}{x^2+y^2}) \)

ya probe que la matriz jacobiana es simétrica cuando x e  y son distintos de 0 , que seria el dominio natural de f, ahora tengo que analizar el (0,0) tambien  ?

[Luis Fuentes]

Hola

hola tengo una duda con este ejercicio  ,

Analizar la existencia de la función potencial en el dominio natural de 

\( f(x,y)=(\dfrac{-3y}{x^2+y^2},\dfrac{3x}{x^2+y^2}) \)

ya probe que la matriz jacobiana es simétrica cuando x e  y son distintos de 0 , que seria el dominio natural de f, ahora tengo que analizar el (0,0) tambien  ?

No. El origen no está en el dominio.

Pero ojo, porque el dominio no es simplemente conexo (tiene un agujero). Entonces la igualdad de las parciales cruzadas no te asegura que sea conservativo y exista función potencial. Mira por aquí:

https://mathinsight.org/path_dependent_zero_curl

Saludos.

[alucard]

gracias luis , una consulta, el (0,0) no esta en el dominio natural  , entonces ¿porque debo analizarlo con la curva que encierra al punto y calcular la circulación sobre ella?.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

gracias luis , una consulta, el (0,0) no esta en el dominio natural  , entonces ¿porque debo analizarlo con la curva que encierra al punto y calcular la circulación sobre ella?.

La pregunta es porque no habías de hacerlo. La curva está en el dominio de la función, independientemente de que encierre un punto que queda fuera de ese dominio.

Lo que se deduce es que no puede haber función potencial válida en todo el domino ya que en ese caso la circulación sobre la curva cerrada debería de ser nula.

Saludos.

[alucard]

Gracias , una pregunta relacionada al tema , lo demás me lo dejaste bastante claro, en este tipo de ejercicios , cuando me pidan analizar si el campo admite función potencial, si la circulación sobre la curva da 0, alcanza para afirmar que f es conservatovo? O también debo analizar la igualdad de las derivadas parciales ?

[Luis Fuentes]

Hola

cuando me pidan analizar si el campo admite función potencial, si la circulación sobre la curva da 0, alcanza para afirmar que f es conservatovo?

Si simplemente sabes que la circulación sobre UNA curva concreta es nula, no te llega para saber que es conservativo. Sería si sabes que sobre TODA curva, la circulación es nula.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

A parte de lo dicho por Luis me gustaría hacerle notar a alucard, ya que creo que es importante en este tipo de ejemplos, que el campo sí que es conservativo en cualquier subconjunto de su dominio que sea simplemente conexo, como el plano \( x>0 \), por ejemplo.

Un saludo.

[alucard]

Hola

cuando me pidan analizar si el campo admite función potencial, si la circulación sobre la curva da 0, alcanza para afirmar que f es conservatovo?

Si simplemente sabes que la circulación sobre UNA curva concreta es nula, no te llega para saber que es conservativo. Sería si sabes que sobre TODA curva, la circulación es nula.

Saludos.

Muchas gracias luis , duda resuelta