Autor Tema: Demostración complejos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Febrero, 2020, 07:40 pm
Leído 1325 veces

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,445
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola AMIGOS! habiendo leido mi teoría y dado que en ella se dicta la definicion de números complejos, módulo de un complejo, pasaje a la forma polar, propiedades del conjugados, y operaciones (sin DeMoivre aún) me solicitan que pruebe lo siguiente

a) Sea \( n \in{\mathbb{N}} \) y \( z \in{\mathbb{C}} \) tal que \( z^n=1 \) pruebe que \( \forall{l} \in{\left\{{0, 1,2, \cdots , n}\right\}}: \bar{z^l}=z^{n-l} \). Luego utilizando esto verificar que \( \displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}\in{\mathbb{R}} \)

En la primer parte del inciso a) ¿se debe aplicar inducción para esta demostración?

Necesito una guía de como comenzar no que lo realicen. Gracias!!

Saludos

10 Febrero, 2020, 07:57 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,035
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola AMIGOS! habiendo leido mi teoría y dado que en ella se dicta la definicion de números complejos, módulo de un complejo, pasaje a la forma polar, propiedades del conjugados, y operaciones (sin DeMoivre aún) me solicitan que pruebe lo siguiente

a) Sea \( n \in{\mathbb{N}} \) y \( z \in{\mathbb{C}} \) tal que \( z^n=1 \) pruebe que \( \forall{l} \in{\left\{{0, 1,2, \cdots , n}\right\}}: \bar{z^l}=z^{n-l} \). Luego utilizando esto verificar que \( \displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}\in{\mathbb{R}} \)

En la primer parte del inciso a) ¿se debe aplicar inducción para esta demostración?

No. No tienes que usar inducción:

i) Usando que \( z^n=1 \) aplicando módulo deduce que \( |z|=1 \).

ii) Nota que \( z^{n-l}=z^nz^{-l}=1\cdot z^{-l} \)

iii) \( z^{-l}=\dfrac{1}{z^{l}} \). Multiplica numerador y denominador por el conjugado...

iv) Más adelante para la segunda parte nota que:

\( \displaystyle\binom{n}{l}=\displaystyle\binom{n}{n-l} \)

Saludos.

10 Febrero, 2020, 08:10 pm
Respuesta #2

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,445
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola Luis Fuentes MILLON DE GRACIAS!!!  ;)

13 Febrero, 2020, 03:04 am
Respuesta #3

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,445
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola GENTE!! bueno llevo unos días dándole vueltas a la segunda parte del enunciado

Sea \( n \in{\mathbb{N}} \) y \( z \in{\mathbb{C}} \) tal que \( z^n=1 \) pruebe que \( \forall{l} \in{\left\{{0, 1,2, \cdots , n}\right\}}: \bar{z^l}=z^{n-l} \). Luego utilizando esto verificar que \( \displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}\in{\mathbb{R}} \)


Tomando en cuenta los que me sugiere Luis Fuentes hice lo sigiuiente

\( \displaystyle\sum_{l=0}^n{\displaystyle\binom{n}{l}z^l}=\displaystyle\sum_{(n-l)=0}^n{\displaystyle\binom{n}{n-l}z^{n-l}}=\displaystyle\sum_{(n-l)=0}^n{\displaystyle\binom{n}{n-l} \cdot \bar{z}^l} \)

De ahi no puedo pasar  :banghead: :banghead: ???

GRACIAS!

Saluditos

13 Febrero, 2020, 05:59 am
Respuesta #4

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,798
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.  He agregado la n a la segunda suma, había olvidado ponerla.

A ver si eso te ayuda

Si sumamos el primer término de la serie con el último tenemos

\( z^0+z^n=1+1=2 \)

Ahora el segundo con el penúltimo

\( n(z^1+{\color{blue}z^{n-1}})=n(z^1+{\color{blue}\overline{(z^{1})}})=\bf 2nRe(z^1) \)

Lo que está en azul lo probaste en el primer inciso.

Puedes seguir sumando tercero con ante penúltimo, resultarán reales. Luego el resto de términos.


Spoiler
Para el término k+1, tenemos la suma

\( \displaystyle\binom{n}{k}z^k+\binom{n}{n-k}z^{n-k}=\cdots \)


[cerrar]




Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

19 Febrero, 2020, 07:58 pm
Respuesta #5

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,445
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola Ingmarov MUCHÍSIMAS GRACIAS!!! me ayudo muchisimo.

Ciertamente me tomo su tiempo, claro!  ;D ;D

Sólo me queda una duda, de tanto desmenuzar este tema me surgió la siguiente pregunta.

Si \( n \) es impar entonces tengo \( n+1 \) términos y entonces la suma podré realizarla de dos en dos términos, hasta completar los \( n+1 \)  terminos, valga la redundancia.

y si \( n \) es par el número de términos que tengo es impar y al sumar dos a dos, hay uno, más precisamente el termino \( \displaystyle\frac{n}{2} \) que queda "solo" ¿como analizo eso?

GRACIAS!!

19 Febrero, 2020, 08:08 pm
Respuesta #6

Abdulai

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,363
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Citar
...
y si \( n \) es par el número de términos que tengo es impar y al sumar dos a dos, hay uno, más precisamente el termino \( \displaystyle\frac{n}{2} \) que queda "solo" ¿como analizo eso?

Con \( n \) par, ese término que te queda aislado vale siempre \( -1 \)

19 Febrero, 2020, 08:26 pm
Respuesta #7

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,445
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Barbaro!!GRACIAS Abdulai  :)