Autor Tema: Demostración

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10 Febrero, 2020, 02:53 am
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nktclau

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Hola, quisiera saber si hay otra forma de demostrar lo que hice en esta solicitud.

Sea \( z \in{\mathbb{C}} \), \( |z|=1 \) y \( z^{2n}\neq{-1} \) probar \( \displaystyle\frac{z^n}{1+z^{2n}} \)

Demostración

Sea en su forma polar o trigonométrica  \( z=|z| cis (\alpha) \) tal que \( |z|=1 \)


\( \displaystyle\frac{z^n}{1+z^{2n}}=\displaystyle\frac{|z|^n cis (n\alpha)}{1+|z|^{2n} cis(2n\alpha)} \)

Como \( |z|=1 \) se verifica que \( \displaystyle\frac{|z|^n cis (n\alpha)}{1+|z|^{2n} cis(2n\alpha)}=\displaystyle\frac{cis(n\alpha)}{1+cis (2n\alpha)}=\displaystyle\frac{cos(n\alpha) + i sen(n\alpha)}{1+cos(2n\alpha)+i sen (2n\alpha)} \)

LLamemos \( u=n\alpha \)

\( \displaystyle\frac{cos(u) + i sen(u)}{[1+cos(2u)]+i sen (2u)}=\displaystyle\frac{cos(u) + i sen(u)}{[1+cos(2u)]+i sen (2u)} \cdot \displaystyle\frac{[1+cos(2u)] -i sen(2u)}{[1+cos(2u)]-i sen (2u)}=  \)

Aplicamos distributiva

\( \displaystyle\frac{\left[cos(u)+ i sen(u) \right]\cdot \left[1+cos(2u) \right]- \left[cos(u)+ i sen(u) \right]\cdot i sen(2u)}{\left[1+cos(2u)\right]^2 + \left[sen (2u)\right]^2} \)

El denominador es un número real que llamaremos \( \phi =\left[1+cos(2u)\right]^2 + \left[sen (2u)\right]^2\neq{0}  \)

\( \displaystyle\frac{cos(u)\cdot \left[1+cos(2u)\right] + i sen (u) \cdot  \left[1+cos(2u)\right]  - cos(u) \cdot i sen(2u) - sen(u) \cdot sen(2u)}{\phi} \)

Agrupo parte real e imagnaria

\( \displaystyle\frac{cos(u)\cdot \left[1+cos(2u)\right]- sen(u) \cdot sen(2u)}{\phi} + \displaystyle\frac{sen (u) \cdot  \left[1+cos(2u)\right]-cos(u) \cdot  sen(2u)i}{\phi} \)


Debo probar que el numerador de la parte imaginaria es cero, es decir, \( sen (u) \cdot  \left[1+cos(2u)\right]-cos(u) \cdot  sen(2u)=0 \)

Aplico distributiva

\( sen(u) + sen(u) cos(2u) - cos(u) sen(2u) \)

Usando identidades trigonométricas \( \begin{cases}{ sen(2u)=2 sen(u)cos(u)}\\ \text{y}\\cos(2u)=cos^2(u) - sen^2(u) \end{cases} \)

\( sen(u) + sen(u) \left[ cos^2(u) - sen^2(u)\right] - cos(u) 2 sen(u)cos(u)=sen(u) + sen(u) cos^2(u)-sen^3(u)-2cos^2(u)sen(u)= \)

\( sen(u) - sen(u) cos^2(u)-sen^3(u)= \)

\( sen(u) \left[1-cos^2(u)-sen^2(u)\right] = sen(u) \left[1-\left(cos^2(u)+sen^2(u)\right)\right]=0 \)


Saber si está bien en principio y después saber quizas si hay una forma menos "extensa"

Muchas Gracias

Saludos

10 Febrero, 2020, 03:20 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola. Un error corregido

Hola, quisiera saber si hay otra forma de demostrar lo que hice en esta solicitud.

Sea \( z \in{\mathbb{C}} \), \( |z|=1 \) y \( z^{2n}\neq{-1} \) probar \( \color{red}\displaystyle\frac{z^n}{1+z^{2n}} \)

...


¿Te falta algo allí?

Usando la forma exponencial.  \( \bf\color{blue}z=e^{i\theta} \)

\( \dfrac{z^n}{1+z^{2n}}=\dfrac{e^{i\,n\theta}}{1+e^{i\,2n\theta}}=\dfrac{1}{\frac{1}{e^{i\,n\theta}}+\frac{e^{i\,2n\theta}}{e^{i\,n\theta}}}=\color{red}\dfrac{1}{2(\frac{e^{-i\,n\theta}+e^{i\,n\theta}}{2})}=\dfrac{1}{2cos{n\theta}}=\dfrac{1}{2Re(z^n)} \)

Si no he cometido algún error, llegó a eso.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

10 Febrero, 2020, 06:48 pm
Respuesta #2

nktclau

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Hola ingmarov es  evidente que me falta teoría.

¿Que bibliografia me recomiendas, para este tema?

GRACIAS!

10 Febrero, 2020, 06:59 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Hola, quisiera saber si hay otra forma de demostrar lo que hice en esta solicitud.

Sea \( z \in{\mathbb{C}} \), \( |z|=1 \) y \( z^{2n}\neq{-1} \) probar \( \displaystyle\frac{z^n}{1+z^{2n}} \)

Pero, ¿qué es lo que hay que probar en el ejercicio?

10 Febrero, 2020, 07:00 pm
Respuesta #4

ingmarov

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Hola

Aún no sé qué querías probar.

¿Que bibliografia me recomiendas, para este tema?


Solo he utilizado dos libros y no sé si son recomendables  ???, Estos son
Variable compleja y aplicaciones de Churchill, y
Variable compleja de Spiegel (Serie de Schaum)

Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

10 Febrero, 2020, 07:32 pm
Respuesta #5

nktclau

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Hola ingmarov y Masacroso

 :banghead: :banghead: :banghead: :banghead: perdon!!!

Hola, quisiera saber si hay otra forma de demostrar lo que hice en esta solicitud.

Sea \( z \in{\mathbb{C}} \), \( |z|=1 \) y \( z^{2n}\neq{-1} \) probar \( \displaystyle\frac{z^n}{1+z^{2n}}\color\red \in{\mathbb{R}} \)


10 Febrero, 2020, 09:20 pm
Respuesta #6

Juan Pablo Sancho

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Tienes que si \( w \in \mathbb{C}  \) entonces \( w + \overline{w} \in \mathbb{R}  \)
Entonces:
\( \displaystyle \dfrac{z^n}{1+z^{2n}} = \dfrac{z^n}{1+z^{2n}} \cdot \dfrac{1+\overline{z}^{2n}}{1+\overline{z}^{2n}}  =  \) y seguir.
Spoiler
\(  \displaystyle \dfrac{z^n}{1+z^{2n}} \cdot \dfrac{1+\overline{z}^{2n}}{1+\overline{z}^{2n}} = \dfrac{z^n + (z^n \cdot \overline{z}^n) \cdot  \overline{z}^n}{1+\overline{z}^{2n} \cdot z^{2n} + (z^{2n} + \overline{z}^{2n})}  \)

\( \displaystyle z^n \cdot \overline{z}^n = (z \cdot \overline{z})^n  \)

\( \displaystyle z \cdot \overline{z} = |z|^2 = 1  \)

\( \displaystyle z^{2n} + \overline{z}^{2n} = \displaystyle z^{2n} + \overline{z^{2n}} \in \mathbb{R}  \)
[cerrar]

11 Febrero, 2020, 06:06 pm
Respuesta #7

nktclau

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Hola Juan Pablo Sancho MILLON DE GRACIAS
GRACIAS!!! ;)

Una consulta: La propiedad: \( z^n + \bar{z}^n=z^n+\bar{z^n} \) se prueba con induccion?

Saludos

11 Febrero, 2020, 08:47 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Una consulta: La propiedad: \( z^n + \bar{z}^n=z^n+\bar{z^n} \) se prueba con induccion?

Si. La propiedad de que \( (\bar{z})^n=\overline{z^n} \).

Para \( n=1 \) es inmediato y para el paso inductivo usando que \( \bar a\cdot \bar b=\overline{ab} \).

\( (\bar z)^n=(\bar z)^{n-1}\cdot \bar z=\overline{z^{n-1}}\cdot \bar z=\overline{z^{n-1}\cdot z}=\overline{z^n} \).

Saludos.

11 Febrero, 2020, 09:09 pm
Respuesta #9

nktclau

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MUCHISIMAS GRACIAS Luis Fuentes!! :aplauso: :aplauso:

Como siempre placer estudiar junto a este grupo!!  ;)