Autor Tema: Binomial sum

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02 Febrero, 2020, 06:29 pm
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jacks

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For \( n>2, \) Then \( \displaystyle \sum^{n}_{k=0}(-1)^{k}(n-k)(n-k+1)\binom{n}{k}= \)

02 Febrero, 2020, 06:45 pm
Respuesta #1

Masacroso

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We have that

\( \displaystyle{
\begin{align*}
a_n&:=\sum^{n}_{k=0}(-1)^{k}(n-k)(n-k+1)\binom{n}{k}\\
&=\sum^{n}_{k=0}(-1)^{k}(n-k)(n-k+1)\binom{n}{n-k}\\
&=\sum^{n}_{k=0}(-1)^{n-k}k(k+1)\binom{n}{k}\\
&=\left[\frac{x^n}{n!}\right]\left(\sum_{k\geqslant 0}(-1)^k\frac{x^k}{k!}\right)\left(\sum_{k\geqslant 0}k(k+1)\frac{x^k}{k!}\right)\\
&=\left[\frac{x^n}{n!}\right]e^{-x}[xD^2 ](xe^{x})\\
&=\left[\frac{x^n}{n!}\right]e^{-x}[xD](x+1)e^x\\
&=\left[\frac{x^n}{n!}\right]e^{-x}x(x+2)e^{x}\\
&=\left[\frac{x^n}{n!}\right](2x+x^2)\\
&=\left[\frac{x^n}{n!}\right]\left(0\frac{x^0}{0!}+2\frac{x^1}{1!}+2\frac{x^2}{2!}+0+0+\ldots \right)
\end{align*}
} \)

where \( D \) is the derivative operator (respect to \( x \)) and \( [x^n/n!]f(x) \) is the coefficient of \( x^n/n! \) in the power expansion of \( f \). Therefore \( a_n=0 \) for \( n> 2 \) and \( n=0 \), and \( a_1=a_2=2 \).

09 Febrero, 2020, 12:23 pm
Respuesta #2

jacks

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Thanks masacroso.