Autor Tema: Forma cartesiana de una suma

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

09 Febrero, 2020, 02:24 am
Leído 391 veces

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,448
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola GENTE!! Tengo una duda con el siguiente ejercicion

Me solicitan:Calcule la forma cartesiana de la siguiente suma \( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}(1+\sqrt[ ]{3})^{n} \)

No entiendo que estan solicitando  ??? ??? :banghead: :banghead: o quizas si, un poco insegura.

Paso \( Z=1+\sqrt[ ]{3}i \) a la forma polar \( Z=2 cis (60) \)

Por lo tanto  \( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}(1+\sqrt[ ]{3})^{n} = \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{(2 cis (60))^{n}} \)

Aplicando DeMoivre \( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{2^n cis(n\cdot 60)} \)

Lo que podría escribirse como \( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{2^n \cdot [cos(n \cdot 60) + i sen(n \cdot 60 ))} \)

Aplicando distributiva   \( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{2^n \cdot cos(60 \cdot n)} + 2^n \cdot sen(60 \cdot n) i \)

Lo que es igual a \( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{2^n \cdot cos (n \cdot 60)} + \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{2^n \cdot sen(60 \cdot n)i} \)

Ahi me quedé! Ayuda!
GRACIAS



Saludos
 

09 Febrero, 2020, 03:50 am
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,164
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola nktclau

Entiendo que el término de la serie es \( (1+i\sqrt[ ]{3})^n \), denominando \( z=1+i\sqrt[ ]{3} \), se tiene que la serie adopta la forma :

\( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{z^n} \) esto es una serie geométrica y  por una identidad algebraica es igual a :

\( \displaystyle\frac{1-z^{11}}{1-z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{10}{z^n} \)

Ahora sí para el numerador, puedes aplicar el teorema de DeMoivre y continuar.



Saludos

10 Febrero, 2020, 01:38 am
Respuesta #2

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,448
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola Delmar ;) ;)

Hola nktclau

Entiendo que el término de la serie es \( (1+i\sqrt[ ]{3})^n \), denominando \( z=1+i\sqrt[ ]{3} \), se tiene que la serie adopta la forma :

\( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{z^n} \) esto es una serie geométrica y  por una identidad algebraica es igual a :

\( \displaystyle\frac{1-z^{11}}{1-z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{10}{z^n} \)

Ahora sí para el numerador, puedes aplicar el teorema de DeMoivre y continuar.


Tuve que buscar y leer un poco, ya que desconocia el tema de series geométricas en complejos. Encontré este excelente post de Fernando Revilla

http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/10/series-complejas-conceptos-basicos/

Y bueno hay algo que no logro entender , lo transcribo tal cual es el inciso 2) del post citado más arriba.

Se considera serie geométrica \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{z^n}=1+ z + z^2+ z^3 + \cdots  (z \in{\mathbb{C}}) \)

El término enésimo de la series es \( u_n=z^{n-1} \)

Si \( |x|\geq{1} \) Duda: No se quien es \( x \) :banghead: :banghead: :banghead:

Tambien \( |u^{n-1}|=|z|^{n-1}\geq{1} \) , es decir \( \left\{{u_n}\right\} \) no tiende a \( 0 \), lo cual implica que la serie no es convergente..
Esto si lo comprendo, pues interpreto que si el módulo del enésimo termino es mayor o igual a uno entonces la seri diverge.

Ahora de acuerdo a mi desarrollo anterior


Aplicando DeMoivre \( \displaystyle\sum_{n=0}^{10}{2^n cis(n\cdot 60)} \)


Al pasar a forma polar mi complejo puedo ver que el módulo de \( z^n=(1+\sqrt[ ]{3} i)^n \) es \( 2^n \) el cual es mayor o igual que 1 por lo tanto es divergente.

Sigue... el apunte del post citado.

Si \( |x|<1 \) (nuevamente no se quien es \( x \)) la suma parcial enésima es: \( S_n=1+z+z^2+ \cdots + z^{n-1}=\displaystyle\frac{z^n-1}{s-1} \) y en esta suma, no se qué o quién es \( s \) en el denominador.

Por lo tanto \( S=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{S_n}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{z^n-1}{z-1}=\displaystyle\frac{0-1}{z-1}} \)

¿porqué el cero en el numerador??

Bueno son muchas preguntas pero creo que me servirá para comprender y GRACIAS DELMAR!!.  ;)

Fantástico tu aporte, pues fuí más allá.

Saludos




10 Febrero, 2020, 08:08 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Tuve que buscar y leer un poco, ya que desconocia el tema de series geométricas en complejos. Encontré este excelente post de Fernando Revilla

http://fernandorevilla.es/blog/2014/03/10/series-complejas-conceptos-basicos/

Y bueno hay algo que no logro entender , lo transcribo tal cual es el inciso 2) del post citado más arriba.

Se considera serie geométrica \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{z^n}=1+ z + z^2+ z^3 + \cdots  (z \in{\mathbb{C}}) \)

El término enésimo de la series es \( u_n=z^{n-1} \)

Si \( |x|\geq{1} \) Duda: No se quien es \( x \) :banghead: :banghead: :banghead:

¡Te estás liando!. Estás confundiendo sumas infinitas (series) que es lo que explica Fernando, frente a lo que tienes en tu ejercicio que es simplemente una suma finita (de diez términos); entonces no hay ningún problema de convergencia. Es decir es una progresión geométrica. Aquí tienes demostrada la fórmula de su suma:

https://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica

Ahora vuelve a leer con calma la respuesta de delmar.

Saludos.


10 Febrero, 2020, 08:08 pm
Respuesta #4

nktclau

  • Matemático
  • Mensajes: 3,448
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola Luis Fuentes GRACIAS!!!  ;) ;)

Lo volveré a revisar. Perdón, a veces me lio mucho!! y MIL GRACIAS A TODOS Por su paciencia  :)