Autor Tema: Vida real: rotación de puestos de trabajo

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08 Febrero, 2020, 10:25 am
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Edustoteles

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Problema de la vida real:

Tenemos que crear un calendario para las rotaciones mensuales que va a realizar un grupo de 6 PERSONAS, POR PAREJAS, en TRES PUESTOS DE TRABAJO. Es decir, cada mes una pareja estará trabajando en cada uno de los tres puestos de trabajo.

Deben cumplirse las siguientes condiciones:

- Todos tienen que cambiar de puesto de trabajo cada mes

- Todos tienen que cambiar de pareja cada mes.

- Al cabo de un tiempo, las seis personas habrán tenido que trabajar el mismo número de veces en cada uno de los tres puestos de trabajo.

- Deben formarse todas las combinaciones de parejas posibles.

- Al cabo de un tiempo, cada una de las combinaciones de parejas posibles deberá haberse repetido el mismo número de veces. No puede haber parejas que se repitan mas que otras.

Saludos!

08 Febrero, 2020, 11:23 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Si los puestos de trabajo los numeras del 1al 6 y las personas de a hasta f donde inicialmente a estaba en el puesto 1 , b en el 2 .... Y 1 con 2 corresonden al mismo puesto

\( a\to 3 \)
\( b\to 5 \)
\( c\to 6 \)
\( d\to 2 \)
\( e\to 1 \)
\( f\to 4 \)

Es una solución , pero intuyo hay otras formas de lograrlo
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

08 Febrero, 2020, 12:27 pm
Respuesta #2

feriva

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Hola, Edustoteles.

No sé si entiendo todo, pero hay 15 combinaciones sin repetición.
Sin embargo, creo que es mejor tomar tres grupos de tres y que cada tres meses se repita todo (si se tratara de eso):

\( \begin{array}{cccc}
puesto1 & puesto2 & puesto3\\
1,2 & 3,4 & 5,6 & primer\, mes\\
4,6 & 1,5 & 2,3 & segundo\, mes\\
3,5 & 2,6 & 1,4 & tercer\, mes
\end{array}
  \)

Saludos.

10 Febrero, 2020, 02:11 pm
Respuesta #3

Edustoteles

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Si los puestos de trabajo los numeras del 1al 6 y las personas de a hasta f donde inicialmente a estaba en el puesto 1 , b en el 2 .... Y 1 con 2 corresonden al mismo puesto

\( a\to 3 \)
\( b\to 5 \)
\( c\to 6 \)
\( d\to 2 \)
\( e\to 1 \)
\( f\to 4 \)

Es una solución , pero intuyo hay otras formas de lograrlo

Gracias Richard,
Como primer movimiento de la rotación sería válido ya que cada uno de ellos cambiaría de pareja y de puesto de trabajo. Sin embargo no se cumplirían las dos últimas condiciones:

- Al cabo de un tiempo, las seis personas habrán tenido que trabajar el mismo número de veces en cada uno de los tres puestos de trabajo.

- Al cabo de un tiempo las parejas deberán haberse repetido el mismo número de veces. No puede haber parejas que se formen mas veces que otras.

Con este primer movimiento cada uno de ellos trabaja solo en dos de los tres puestos de trabajo existentes luego no se cumple la tercera condición en la que todos deben trabajar el mismo número de veces en cada uno de los tres puestos de trabajo.

La cuarta condición no la escribí correctamente, fallo mío. O mas bien debería haber una quinta: Deben formarse todas las combinaciones de parejas posibles (15) De forma que cada uno trabaje el mismo número de veces con los otros cinco compañeros.

10 Febrero, 2020, 02:23 pm
Respuesta #4

Edustoteles

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Hola, Edustoteles.

No sé si entiendo todo, pero hay 15 combinaciones sin repetición.
Sin embargo, creo que es mejor tomar tres grupos de tres y que cada tres meses se repita todo (si se tratara de eso):

\( \begin{array}{cccc}
puesto1 & puesto2 & puesto3\\
1,2 & 3,4 & 5,6 & primer\, mes\\
4,6 & 1,5 & 2,3 & segundo\, mes\\
3,5 & 2,6 & 1,4 & tercer\, mes
\end{array}
  \)

Saludos.

Hola feriva, gracias por responder

Es exactamente como lo representas, tres puestos de trabajo y en cada uno de ellos una pareja. Es mas, tal y como propuse el problema, al redactar yo mal la cuarta condición o no añadir una quinta, tu solución es válida.

La verdad es que no lo expliqué demasiado bien ya que una de las condiciones es que deben formarse todas las parejas posibles. Cada uno de los 6 debe trabajar al menos una vez con los otros cinco.

Voy a intentar editar mi mensaje inicial ahora y corregirlo.



11 Febrero, 2020, 02:04 am
Respuesta #5

Richard R Richard

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Hola edutosteles , he revisado la solucion que te brinde, pero no hallo error,
 si haces  por ejemplo


a→3
b→5
c→6
d→2
e→1
f→4

mes a mes es decir  , el que estaba en el puesto 1 pasa al 3, el 3 al 6, el 6 al 4, el 4 al 2, el 2 al 5, y el 5 al 1... y repitiendpo el ciclo creas una tabla como esta que luego de 78 rotaciones iguales, cada uno ha pasado por el mismo puesto 13 veces


   1   2   3   4   5   6
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
a   13   13   13   13   13   13
b   13   13   13   13   13   13
c   13   13   13   13   13   13
d   13   13   13   13   13   13
e   13   13   13   13   13   13
f   13   13   13   13   13   13


también comprobé que  b y a estan juntos en el mismo puesto 26 veces osea 13  como ab y 13 como ba  para todo para de empleados  "a" y "b"

el valor  13 surge de donde he cortado la tira de prueba cualquier múltiplo de 6

eso cumple todas tus consignas o bien  no las he entendido.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

11 Febrero, 2020, 12:26 pm
Respuesta #6

Edustoteles

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Hola edutosteles , he revisado la solucion que te brinde, pero no hallo error,
 si haces  por ejemplo


a→3
b→5
c→6
d→2
e→1
f→4

mes a mes es decir  , el que estaba en el puesto 1 pasa al 3, el 3 al 6, el 6 al 4, el 4 al 2, el 2 al 5, y el 5 al 1... y repitiendpo el ciclo creas una tabla como esta que luego de 78 rotaciones iguales, cada uno ha pasado por el mismo puesto 13 veces


   1   2   3   4   5   6
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
   e   d   a   f   b   c
   b   f   e   c   d   a
   d   c   b   a   f   e
   f   a   d   e   c   b
   c   e   f   b   a   d
   a   b   c   d   e   f
a   13   13   13   13   13   13
b   13   13   13   13   13   13
c   13   13   13   13   13   13
d   13   13   13   13   13   13
e   13   13   13   13   13   13
f   13   13   13   13   13   13


también comprobé que  b y a estan juntos en el mismo puesto 26 veces osea 13  como ab y 13 como ba  para todo para de empleados  "a" y "b"

el valor  13 surge de donde he cortado la tira de prueba cualquier múltiplo de 6

eso cumple todas tus consignas o bien  no las he entendido.

Hola Richard! gracias por interesarte por el problema

He testeado tu propuesta y no cumple la cuarta condición:

- Deben formarse todas las combinaciones de parejas posibles.

Con tu propuesta (ciclos repetidos de 6 combinaciones) solo se forman 9 parejas de las 15 posibles.

Como dijo feriva se trata de 15 combinaciones sin repetición:

ab ac ad ae af
bc bd be bf
cd ce cf
de df
ef

Al testear tu propuesta dejan de formarse:

ac , ae , bd , be , cf , df

6 de las 15 combinaciones de parejas posibles. Hay 9 que se forman y faltan esas 6

El resto de condiciones se cumplen: cambio de puesto de trabajo, cambio de pareja, mismo número de veces en cada puesto (13) y las parejas que se forman, se forman el mismo número de veces (12)

En cuanto a esto último, solo un apunte: divides cada puesto en dos aunque realmente la condición obliga a que cada uno de los 6 trabajadores pase el mismo número de veces por los 3 puestos existentes: (1,2) (3,4) (5,6)

Así que también sería solución valida que un trabajador rotase por ejemplo: 1,3,5,2,4,6 y otro:1,3,5,1,3,5 durante 6 meses. Ambos habrían pasado dos veces por cada uno de los tres puestos de trabajo.

Estoy intentando explicarme lo mejor que puedo aunque luego me leo y no se si lo estoy haciendo muy bien jajaja. Lo siento.





Saludos!

12 Febrero, 2020, 03:36 am
Respuesta #7

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
No he podido avanzar mucho, pero veo que si creas un ciclo donde , por rotación vas pasando por los distintos puestos solo creas una cadena de 6 eventos, para que se den todas las posibilidades, en el séptimo evento debes crear una nueva cadena , diferente a la primera, y luego reiterar el ciclo de rotación, cadenas posibles hay 120, pero no todas las puedes usar porque  hay muchas imposiciones del enunciado, intuyo que son \( 6\cdot15 =90 \) movimientos diferentes hasta reiterar el total del ciclo, pero todo lo que hice fue a mano, no he podido hallar una regla que permita hallar las 90 rotaciones. Luego de la 36 se me vuelve complejo para seguirlo a mano y contando incluso con excel.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

12 Febrero, 2020, 10:59 am
Respuesta #8

feriva

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Hola.

Sin que se repita ninguno me salen 90 “combinaciones” distintas.

La cuestión está en que no son combinaciones ni variaciones puras, son una mezcla.

Si tomamos la pareja 1,2, lo mismo da que sea 2,1, es la misma; pero a la hora de considerar tres parejas, por ejemplo, (12),(34),(56) esta tripleta es distinta de (34)(12)(56) e influye en el orden que buscamos; son variaciones sin repetición de tres elementos parejas.

Si tomamos la pareja 12 y la dejamos fija, tenemos que considerar las combinaciones sin repetición de 4 elementos, los restantes, agrupados de dos en dos, que hacen seis combinaciones distintas. Seguidamente, como primero podemos dejar fijo 12, después 13; 14;15 y 16, las seis que teníamos se multiplican por 5 y hacen 30.

Ahora, como son tres parejas, (a,b)(c,d)(e,f) esto se multiplica por tres y salen \( 3\cdot30=90
  \) “vari-combinaciones” en las que no se repite ningún número. En el resto de las que hay se repite alguno.

Puedo obtenerlas programando, lo que me cuesta es encontrar el orden para que todo funcione.

Saludos.

12 Febrero, 2020, 11:39 am
Respuesta #9

Edustoteles

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No he podido avanzar mucho, pero veo que si creas un ciclo donde , por rotación vas pasando por los distintos puestos solo creas una cadena de 6 eventos, para que se den todas las posibilidades, en el séptimo evento debes crear una nueva cadena , diferente a la primera, y luego reiterar el ciclo de rotación, cadenas posibles hay 120, pero no todas las puedes usar porque  hay muchas imposiciones del enunciado, intuyo que son \( 6\cdot15 =90 \) movimientos diferentes hasta reiterar el total del ciclo, pero todo lo que hice fue a mano, no he podido hallar una regla que permita hallar las 90 rotaciones. Luego de la 36 se me vuelve complejo para seguirlo a mano y contando incluso con excel.

Hola Richard, gracias por tu interes

Efectivamente la solución que encontramos ayer va por ahí.

Hemos conseguido un calendario de 30 meses compuesto por 6 cadenas de 5 eventos. El calendario puede reiniciarse cada dos años y medio tantas veces como sea necesario y siempre se cumplen todas las condiciones.

Partimos de este ciclo de rotaciones que supone una primera cadena de 5 meses:

            PUESTO 1               PUESTO 2               PUESTO 3   
MES 1             1    2             3    4             5    6
MES 2             4    5             1    6             2    3
MES 3             3    6             2    5             1    4
MES 4             2    4             1    3             5    6
MES 5             1    5             4    6             2    3

Este ciclo cumple todas las condiciones salvo dos: no se llegan a formar todas las parejas y algunas de las que se forman lo hacen mas que el resto.

Al pasar a la siguiente cadena (meses 6 al 10) aplicamos esta regla generando un nuevo orden de rotaciones:

trabajador en posición   -     Pasa a trabajar en posición
                1                  5
                2                  4
                3                  2
                4                  6
                5                  3
                6                  1

Aplicamos esta regla cada 5 meses generando una nueva cadena diferente a la anterior, así hasta terminar 6 cadenas consecutivas de 5 eventos cada una.

Despues de 6 cadenas se volvería a la casilla de salida porque en el mes 30 se cumplen todas las condiciones planteadas en el problema, ahí acaba el ciclo.

Se puede enlazar con el mes uno y siguen cumpliéndose las condiciones, así que puede usarse tantas veces como se quiera.


El calendario sería:

            PUESTO 1               PUESTO 2               PUESTO 3   
MES 1             1    2             3    4             5    6
MES 2             4    5             1    6             2    3
MES 3             3    6             2    5             1    4
MES 4             2    4             1    3             5    6
MES 5             1    5             4    6             2    3

MES 6             6    3             5    2             1    4
MES 7             2    1             6    4             3    5
MES 8             5    4             3    1             6    2
MES 9             3    2             6    5             1    4
MES 10            6   1            2   4            3   5

MES 11            4   5            1   3            6   2
MES 12            3   6            4   2            5   1
MES 13            1   2            5   6            4   3
MES 14            5   3            4   1            6   2
MES 15            4   6            3   2            5   1

MES 16            2   1            6   5            4   3
MES 17            5   4            2   3            1   6
MES 18            6   3            1   4            2   5
MES 19            1   5            2   6            4   3
MES 20            2   4            5   3            1   6

MES 21            3   6            4   1            2   5
MES 22            1   2            3   5            6   4
MES 23            4   5            6   2            3   1
MES 24            6   1            3   4            2   5
MES 25            3   2            1   5            6   4

MES 26            5   4            2   6            3   1
MES 27            6   3            5   1            4   2
MES 28            2   1            4   3            5   6
MES 29            4   6            5   2            3   1
MES 30            5   3            6   1            4   2


Al final, después de dos añós y medio:

- Cada uno de los 6 trabajadores pasa 10 veces por cada uno de los tres puestos de trabajo.
- Cada una de las 15 parejas posibles se forma 6 veces.
- Ningún trabajador repite en meses consecutivos pareja o puesto de trabajo.


Para conseguirlo hemos usado el sentido común y ensayo error. Creo que es un resultado bastante optimizado.

Al repetir 6 veces el primer ciclo que incumple dos condiciones, conseguimos que estas se cumplan. Tiene sentido. Ya que cada trabajador, al aplicarse siempre la misma regla en el cambio de ciclo y cumpliéndose 6 ciclos, termina viviendo las mismas circunstancias que el resto. De esa forma en cada ciclo dejan de formarse dos nuevas parejas y se forman mas a menudo otras diferentes a las que se formaban en el ciclo anterior.

Repitiendo 6 veces el sistema, repetimos 6 veces los incumplimientos de las condiciones y estos terminan por desaparecer.

La cosa es que me preguntaba si no existen sistemas para resolver este tipo de problemas. Aún aplicando la lógica, hemos tenido que probar diferentes reglas que generaran diferentes cadenas y comprobando si cumplían o no las condiciones.

Gracias de nuevo por vuestro interes




12 Febrero, 2020, 11:42 am
Respuesta #10

Edustoteles

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Hola.

Sin que se repita ninguno me salen 90 “combinaciones” distintas.

La cuestión está en que no son combinaciones ni variaciones puras, son una mezcla.

Si tomamos la pareja 1,2, lo mismo da que sea 2,1, es la misma; pero a la hora de considerar tres parejas, por ejemplo, (12),(34),(56) esta tripleta es distinta de (34)(12)(56) e influye en el orden que buscamos; son variaciones sin repetición de tres elementos parejas.

Si tomamos la pareja 12 y la dejamos fija, tenemos que considerar las combinaciones sin repetición de 4 elementos, los restantes, agrupados de dos en dos, que hacen seis combinaciones distintas. Seguidamente, como primero podemos dejar fijo 12, después 13; 14;15 y 16, las seis que teníamos se multiplican por 5 y hacen 30.

Ahora, como son tres parejas, (a,b)(c,d)(e,f) esto se multiplica por tres y salen \( 3\cdot30=90
  \) “vari-combinaciones” en las que no se repite ningún número. En el resto de las que hay se repite alguno.

Puedo obtenerlas programando, lo que me cuesta es encontrar el orden para que todo funcione.

Saludos.

Gracias feriva, acababa de publicar mi respuesta y te leo ahora. Vuelvo a leerte luego con mas tranquilidad para entenderlo bien.

12 Febrero, 2020, 04:58 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

La cosa es que me preguntaba si no existen sistemas para resolver este tipo de problemas. Aún aplicando la lógica, hemos tenido que probar diferentes reglas que generaran diferentes cadenas y comprobando si cumplían o no las condiciones.

Gracias de nuevo por vuestro interes

Aunque no es exactamente lo mismo, la cuestión está muy relacionada con esta:

http://www.jdawiseman.com/papers/tournaments/tournaments.html

Si tengo tiempo intento explayarme más.

Saludos.

13 Febrero, 2020, 09:26 am
Respuesta #12

Edustoteles

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Hola

La cosa es que me preguntaba si no existen sistemas para resolver este tipo de problemas. Aún aplicando la lógica, hemos tenido que probar diferentes reglas que generaran diferentes cadenas y comprobando si cumplían o no las condiciones.

Gracias de nuevo por vuestro interes

Aunque no es exactamente lo mismo, la cuestión está muy relacionada con esta:

http://www.jdawiseman.com/papers/tournaments/tournaments.html

Si tengo tiempo intento explayarme más.

Saludos.

Gracias por responder Luis,

el articulo que mandas es muy interesante y si que resuelve problemas muy parecidos.

Hace unos días dándole vueltas al tema también descubrí la técnica de diseño de algoritmos "divide y vencerás" que por lo visto se usa también en la organización de torneos. Me pareció que podía aplicarse al problema, la pena es que mis conocimientos de matemáticas son muy limitados y no fui capaz de adaptar el problema.

Realmente, eso es lo que mas me cuesta. Catalogar o definir el problema de la rotación de puestos.