[Sallaks]

Hola, necesitaría ayuda con este ejercicio, sinceramente hace horas estoy pensándolo y no puedo solucionarlo

Sea (A,R) una relación de orden definida sobre un conjunto finito A. Demostrar que A posee al menos un elemento maximal

Gracias!.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea (A,R) una relación de orden definida sobre un conjunto finito A. Demostrar que A posee al menos un elemento maximal

Puedes probarlo por inducción sobre el número \( n \) de elementos de \( A \).

- Para \( n=1 \) es inmediato.

- Supón cierto para \( n-1 \) elementos y compruébalo para \( n \).

Sea \( A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\} \) con una relación de orden \( R \). Consideramos \( A'=\{a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\} \) con la relación de orden \( R \) restringida a \( A'. \)

Por hipótesis de inducción \( A' \) tiene un elemento maximal \( a_k \), es decir, si \( a_i\in A' \) cumple \( a_kRa_i \) entonces \( a_k=a_i \).

* Si \( a_k\not Ra_n \) entonces \( a_k \) también es un elemento maximal de \( A \), ya que  si \( a_i\in A \) cumple \( a_kRa_i \) como \( a_i\neq a_n \), entonces \( a_i\in A' \) y así entonces \( a_k=a_i \).

* Si \( a_kRa_n \) entonces \( a_n \) es un elemento maximal de \( A \), ya que si \( a_i\in A \) cumple \( a_nRa_i \), entonces por transitividad \( a_kRa_i \). Si \( a_i\neq a_n \) entonces \( a_i\in A' \) y por ser \( a_k \) maximal de \( A' \), \( a_i=a_k \). Luego \( a_nRa_k \) y así \( a_k=a_n \).

Saludos.

[manooooh]

Hola Luis

Tengo una duda. Siempre que se trata de cosas como SUB ejemplo subred, subgrupo, subálgebra de Boole... entre otras condiciones se dice que la relación debe estar restrinigda al subconjunto que queremos analizar si es "sub".

Lo mencionás acá:

(...) Consideramos \( A'=\{a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\} \) con la relación de orden \( R \) restringida a \( A'. \)

O sea, informalmente todo el mundo se da cuenta de qué significa: La relación deja de actuar sobre todos los elementos del conjunto \( A \), y ahora actúa sólo para algunos: actúa para los elementos de \( A'\subseteq A \).

Mi pregunta es, ¿existe algún concepto/definición que formalice lo anterior? Si \( \sim \) es una relación en \( A \) entonces \( \sim/A' \) es una relación restringida a \( A'\subseteq A \), pero no le veo mucho formalismo a eso.

Gracias!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Mi pregunta es, ¿existe algún concepto/definición que formalice lo anterior? Si \( \sim \) es una relación en \( A \) entonces \( \sim/A' \) es una relación restringida a \( A'\subseteq A \), pero no le veo mucho formalismo a eso.

Pues dada una relación \( R \) en un conjunto \( A \) y \( A'\subset A \) se definie la relación restringida \( R|_{A'} \) de \( R \) a \( A' \) como:

\( xR|_{A'}y\quad \Leftrightarrow{}\quad xRy  \)

con \( x,y\in A' \).

Saludos.