Autor Tema: Algunos aspectos algebraicos de la holomorfidad

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25 Mayo, 2020, 05:38 pm
Respuesta #80

geómetracat

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Mi anterior mensaje posiblemente sea confuso, mejor especifico un poco más. El álgebra de Clifford (usando mi convención de signo) \( Cl(0,2) \) es la que creo que va a ser necesaria en este caso concreto de grafo, ademas del subálgebra par isomórfico al álgebra de complejos.

Esta es el álgebra 4 dimensional de cuaternios, y mi argumento (sacada la parte geométrica de "Visual complex analysis" de Needham, pgs. 30-44, si es que entendí algo) es que tenemos una función en \( \mathbb{C} \) que quiero que sea holomorfa para valores en la esfera de Riemann. Esto implica preservar similaridades directas(que es lo que hace la geometría compleja) no solo en el plano complejo de 2 dimensiones reales sino en una dimensión más, sobretodo porque las parametrizaciones estereográficas usadas para cubrir toda la esfera requieren 3 coordenadas cartesianas, y la única álgebra que consigue esto es la 4-dimensional de cuaternios, por eso aludo a los vectores 4-dimensionales, que obviamente no son usados en el subálgebra de escalares y bivectores de los complejos cuando no hay este grafo concreto.

Sinceramente, no entiendo nada. De hecho ahora ya estoy tan perdido que ni sé qué pretendes hacer con los cuaterniones o las álgebras de Clifford.
No sé a qué te refieres con "preservar similaridades directas no solo en el plano complejo de 2 dimensiones reales sino en una dimensión más" (¿tres dimensiones reales? ¿cuáles, de dónde salen?).

Tampoco entiendo lo de las parametrizaciones estereográficas de la esfera, si por esfera te refieres a \( S^2 \) solamente necesitas dos coordenadas reales, no tres.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Mayo, 2020, 06:28 pm
Respuesta #81

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 Tienes razón, le daré unas vueltas a ver si encuentro una forma más precisa de expresar la idea.

26 Mayo, 2020, 09:18 pm
Respuesta #82

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Vale me colé. No he dicho nada :banghead:

31 Mayo, 2020, 02:31 pm
Respuesta #83

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Creo que las álgebras de Clifford pueden  liarme así que me ceñiré al álgebra exterior de las formas diferenciables. De acuerdo a lo que comentas en #49 la holomorfidad(que incluye compatibilidad de orientación entre cartas) en la matriz de cambio de cartas compuesta por 4 funciones \( \mathbb{R} \)-lineales que pertenecen al 4-espacio real o 2-espacio complejo de aplicaciones, ¿como  está relacionado exactamente con que el dominio \( \mathbb{C} \) de las cartas admita una estructura de 2-forma para los elementos lineales de su base real ? (ya sea a partir de funciones \( \mathbb{R} \)-lineales \( dx \) y \( dy \) o \( dz \) y \( d\bar{z} \) según la relación que das en #49)

31 Mayo, 2020, 05:45 pm
Respuesta #84

geómetracat

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Pues no está relacionado de ninguna manera. Las cartas siempre admiten formas diferenciales. Lo único que necesitas para ello es una estructura de variedad diferenciable (para que tenga sentido hablar de espacio tangente).
Lo mismo pasa con las álgebras de Clifford en los tangentes, están definidas para cualquier variedad diferenciable.

Lo que mostraba en ese mensaje es que todo atlas holomorfo (cartas con cambio de coordenadas holomorfos) es también un atlas orientado (cambios de coordenadas con determinante jacobiano positivo).
Pero no toda variedad orientada es compleja, al igual que toda función holomorfa preserva orientación, pero no toda aplicación que preserva orientación es holomorfa.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Mayo, 2020, 06:28 pm
Respuesta #85

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Pues no está relacionado de ninguna manera. Las cartas siempre admiten formas diferenciales. Lo único que necesitas para ello es una estructura de variedad diferenciable (para que tenga sentido hablar de espacio tangente).
Lo mismo pasa con las álgebras de Clifford en los tangentes, están definidas para cualquier variedad diferenciable.

Lo que mostraba en ese mensaje es que todo atlas holomorfo (cartas con cambio de coordenadas holomorfos) es también un atlas orientado (cambios de coordenadas con determinante jacobiano positivo).
Pero no toda variedad orientada es compleja, al igual que toda función holomorfa preserva orientación, pero no toda aplicación que preserva orientación es holomorfa.
Si me estoy refiriendo a eso precisamente. Tú me has recalcado varias veces la orientación canónica tanto en dominio como en codominio del grafo, pues las formas diferenciables y su producto wedge sirven para asegurar esto, ¿no?
Las ecuaciones de  CR se cumplen si la matriz jacobiana asegura esta orientación canónica entre cartas.

Ya sé que la holomorfidad es una condición más fuerte que la orientación canónica, pero esta última es necesaria para la primera. Es decir si no se cumpliera  no habría holomorfidad. Esta es la relación a la que me refiero.  Me sugieres que esto es algo trivial ya que todas las variedades diferenciables disponen de estas formas pero yo creo que no es tan trivial al considerar la compatibilidad entre la estructura vectorial real y compleja y de hecho en la referencia que mencioné hace tiempo de Berenstein se refieren en un par de páginas a definir el producto wedge de elementos del espacio de mapas \( \mathbb{R} \)-lineales de \( \mathbb{C} \) en \( \mathbb{C} \).

31 Mayo, 2020, 09:37 pm
Respuesta #86

geómetracat

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Tampoco digo que sea algo trivial. Ciertamente es una condición necesaria, pero no suficiente.
De todas formas la estructura compleja es más que la existencia de formas de áreas, en el sentido de que puedes tener varias estructuras complejas no equivalentes con la misma forma de área.

Echaré un vistazo a lo que dices del Berenstein.
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31 Mayo, 2020, 10:10 pm
Respuesta #87

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Tampoco digo que sea algo trivial. Ciertamente es una condición necesaria, pero no suficiente.
De todas formas la estructura compleja es más que la existencia de formas de áreas, en el sentido de que puedes tener varias estructuras complejas no equivalentes con la misma forma de área.
Sí, esto lo entiendo. Y en cuanto se tiene la diferenciabilidad ya realmente la condición se trivializa y no hay  relación, y normalmente la diferenciabilidad se da por supuesta así que entiendo a qúe te referías con "no está relacionado de ninguna manera", ya que es mas bien negativa la relación, sólo en el extraño caso en que se trabaje en circunstancias en que se pierda la diferenciabilidad.

Citar

Echaré un vistazo a lo que dices del Berenstein.
Gracias, es en las primeras 4 páginas del libro.

08 Junio, 2020, 12:00 pm
Respuesta #88

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La cuestión es que el dominio de cada carta, que es (un abierto de) \( \Bbb C \), admite la orientación canónica dada por la forma \( dx \wedge dy = \frac{i}{2} dz \wedge d\bar{z} \).
Ahora, lo único que hay que ver es que estas orientaciones son compatibles (es decir, que el jacobiano del cambio de cartas es positivo). Pero esto es una consecuencia del hecho de que el cambio de cartas es holomorfo.

Si has podido echar un vistazo a lo que hablamos lo que quiero entender mejor es cual es la forma de máximo grado del espacio de las formas \( dx  \) y esto dependerá de a qué espacio o subespacio vectorial nos estemos refiriendo, ya que en la página 3 define el producto exterior que da lugar a las 2-formas de tu post  a partir de elementos del espacio de 4 dimensiones de todas las aplicaciones lineales \( \mathbb{C}\rightarrow{\mathbb{C}} \), yo supongo que  la n-forma máxima sobre los reales en ese espacio sería una 4-forma \( dx \wedge dy \wedge du \wedge dv \) y entonces el cambio de cartas con orientación compatible se puede ver como equivalente a que la 2-forma o determinante de la submatriz jacobiana de cambio de cartas( que admiten la equivalencia que das en la primera linea de tu post que cito) sea el segundo menor de la matriz de 4-formas y 4-vectores en el espacio de todas las aplicaciones lineales \( \mathbb{C}\rightarrow{\mathbb{C}} \) . ¿Es esta una forma de verlo válida?

08 Junio, 2020, 03:14 pm
Respuesta #89

geómetracat

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Perdona, se me olvidó. Le he echado un vistazo ahora. Lo que hace ahí es considerar los espacios complejificados. Es decir, en vez de ver el tangente a una superfície \( \Sigma \) como un espacio vectorial de dimensión real 2, consideras en cada punto \( p \) el tangente complejificado \( T_p\Sigma \otimes \Bbb C \) y el cotangente complejificado \( T_p^*\Sigma \otimes \Bbb C \). Esto es lo mismo que considerar combinaciones lineales de elementos de \( T^*_p \Sigma \) con coeficientes complejos, en vez de reales. Este espacio tiene dimensión compleja \( 2 \) (una base sería \( dx,dy \) y otra \( dz, d\bar{z} \)) y como espacio vectorial real tiene dimensión \( 4 \) (una base sería real sería \( dx,dy,idx,idy \), y otra \( dz, d\bar{z}, idz, id\bar{z} \)).

En efecto, una forma máxima en este espacio, visto como espacio vectorial real es una \( 4 \)-forma, por ejemplo, \( dx\wedge dy \wedge idx \wedge idy \). Si ahora consideras un cambio de cartas cualquiera \( u=f_1(x,y), v=f_2(x,y) \), no necesariamente holomorfo, y calculas cómo se transforman las \( 4 \)-formas, verás que \( du\wedge dv \wedge idu \wedge idv = |J|^2 dx\wedge dy \wedge idx \wedge idy \), donde \( |J| \) es el determinante jacobiano del cambio de \( (x,y) \) a \( (u,v) \). En particular, el cambio de cartas siempre tiene determinante jacobiano positivo. Esto quiere secir que el fibrado tangente complejificado \( T \Sigma \otimes \Bbb C \) es orientable, pero esto no te dice nada sobre la orientabilidad de \( \Sigma \). Es simplemente una consecuencia de que \( T\Sigma \otimes \Bbb C \) es un fibrado complejo, que siempre son orientables, independientemente de que \( \Sigma \) lo sea.

Lo que tiene importancia para la holomorficidad no es el tangente complejificado y sus cambios de cartas, sino su descomposición en suma directa del tangente holomorfo y el antiholomorfo. En cada punto tienes una descomposición \( T^*\Sigma \otimes \Bbb C = T^{'*} \Sigma \oplus T^{''*}\Sigma \), que corresponde a la descomposición de las aplicaciones \( \Bbb R \)-lineales \( \Bbb C \to \Bbb C \) en suma directa de las aplicaciones \( \Bbb C \)-lineales y las \( \Bbb C \)-antilineales. Entonces tienes que el cambio de cartas es holomorfo si y solo si preserva esta descomposición en suma directa, que acaba siendo equivalente a decir que la aplicación dada por la matriz jacobiana del cambio de cartas sea \( \Bbb C \)-lineal en cada punto.
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