Autor Tema: Dado un razonamiento cuantificado hallar hipótesis faltante

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06 Febrero, 2020, 02:50 am
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manooooh

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Hola!

Dadas:

H1: \( \forall x(Ax\wedge Cx\to Px\vee Fx) \)
H2: \( \forall x(Cx\to Ax\wedge Bx) \)
H3: \( \forall x(Cx\wedge Jx\wedge Kx) \)
H4: \( \exists x(Fx\wedge Kx\to Dx\vee Px) \)
Tesis: \( \exists x(Dx\wedge Bx) \)

¿Cuál es la hipótesis faltante?:
1) \( \forall x(Px\wedge Rx\to Dx\vee Bx) \)
2) \( \forall x(Px\vee Rx\to Dx\vee Bx) \)




Parece un trabajo de titantes tratar de razonar para llegar a la tesis, y encima darse cuenta de qué hipótesis falta...

¿Hay algún camino rápido que permita dar con la hipótesis? ???

Gracias!!
Saludos

06 Febrero, 2020, 08:35 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Dadas:

H1: \( \forall x(Ax\wedge Cx\to Px\vee Fx) \)
H2: \( \forall x(Cx\to Ax\wedge Bx) \)
H3: \( \forall x(Cx\wedge Jx\wedge Kx) \)
H4: \( \exists x(Fx\wedge Kx\to Dx\vee Px) \)
Tesis: \( \exists x(Dx\wedge Bx) \)

¿Cuál es la hipótesis faltante?:
1) \( \forall x(Px\wedge Rx\to Dx\vee Bx) \)
2) \( \forall x(Px\vee Rx\to Dx\vee Bx) \)




Parece un trabajo de titantes tratar de razonar para llegar a la tesis, y encima darse cuenta de qué hipótesis falta...

¿Hay algún camino rápido que permita dar con la hipótesis? ???

No veo ningún atajo especial, pero no me parece para tanto razonar.

 De H3 para todo \( x \), \( C,J \) y \( K \) son verdaderas.
 Entonces de H2, también para todo \( x \), \( A,B \) son verdaderas.
 Ahora de H1, para todo \( x \), \( P \) o \( F \) es verdadera.
 
 Finalmente de H4, existe un \( x \) para el cuál si queremos garantizar que \( Dx \) sea cierta necesariamente \( Fx \) tiene que ser cierta y \( Px \) falsa. Por H1 para garantizar esto basta que \( Px \) sea falsa.

 ¿Ahora estás seguro de que la dos opciones que presentas de hipótesis añadidas están bien?.

 Hemos visto con las hipótesis que tenemos que para todo \( x \), \( Bx \) es cierta; por tanto cualquiera de las dos hipótesis añadidas es siempre cierta. No aportan nada nuevo.

Saludos.

06 Febrero, 2020, 12:32 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola, Luis, muchas gracias

1) No entiendo por qué para que H3 sea cierta necesariamente debe ser Fx cierta y Px falsa, con Dx cierta. Es cierto que \( Dx\vee Px \) es cierta, pero ¿por qué no podemos decir que Px es cierta?

2) No tengo el ejercicio exacto, por eso se prestó a confusión.  Lo único extra que puedo decir es que:

Entre las opciones de la hipótesis faltante faltan más opciones, a saber:

- Siempre son de la forma \( Px??Rx\to Dx??Bx \), pero varían las conjunciones y disyunciones.

- El cuantificador varía para cada opción anterior.

Pero supuestamente la opción correcta era (2).

Perdón por no tenerlo completo. Si pudieran darme una mano con esto súper agradecido.

Saludos

06 Febrero, 2020, 05:27 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

1) No entiendo por qué para que H3 sea cierta necesariamente debe ser Fx cierta y Px falsa, con Dx cierta. Es cierto que \( Dx\vee Px \) es cierta, pero ¿por qué no podemos decir que Px es cierta?

No creo haber dicho nada de eso.  :D

Lo que he dicho es:

Finalmente de H4, existe un \( x \) para el cuál si queremos garantizar que \( Dx \) sea cierta necesariamente \( Fx \) tiene que ser cierta y \( Px \) falsa. Por H1 para garantizar esto basta que \( Px \) sea falsa.

Lo que digo más detalladamente es:

- Queremos garantizar que la tesis sea cierta, es decir que exista un \( x \) para el cual D y \( B \) se cumplan.
- Por H3 y H2, \( B \) se cumple para cualquier x. Así que no es problema.
- Pero la única hipótesis que trata sobre \( D \) es H4:

\( \exists x(Fx\wedge Kx\to Dx\vee Px) \)

 Para que nos garantice \( Dx \) necesitamos que se cumplan \( Fx \) y \( Kx \) y además que NO se cumpla \( Px \) (si se cumple \( Px \) la implicación podría ser cierta pero \( Dx \) no).

 \( Kx \) se cumple siempre por \( H3 \).

 Pero sólo podemos garantizar que se cumple \( Fx \) por H1 si \( Px \) es falsa.

 Por tanto lo que nos falta es poder garantizar que ese \( x \) que existe por \( H4 \) NO cumple \( Px \).

Citar
2) No tengo el ejercicio exacto, por eso se prestó a confusión.  Lo único extra que puedo decir es que:

Entre las opciones de la hipótesis faltante faltan más opciones, a saber:

- Siempre son de la forma \( Px??Rx\to Dx??Bx \), pero varían las conjunciones y disyunciones.

- El cuantificador varía para cada opción anterior.

Pero supuestamente la opción correcta era (2).

Podría ser así:

\( \forall x(Px\vee Rx\to Dx\wedge Bx) \)

En ese caso, para ese \( x \) cuya existencia garantiza H4,

- si \( Px \) es verdadera ya se cumple directamente por esa hipótesis añadida \( Dx \), que es lo que queríamos.

- si \( Px \) es falsa, se cumple \( Dx \) por lo que habíamos razonado antes.

Saludos.

07 Febrero, 2020, 02:58 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Gracias!! Yo veía que esa \( D \) YA ERA cierta, entonces pensaba "¿Y cómo hizo Luis para deducir la falsedad de \( P \)?", pero luego recapacité en que la cuestión era: PARA QUE \( D \) sea verdadera, entonces... Y ya :laugh:.

Hago una analogía con condición necesaria versus suficiente con \( p\to q \); no puedo responder al instante cuál es cuál... :banghead:.

Saludos

07 Febrero, 2020, 07:56 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hago una analogía con condición necesaria versus suficiente con \( p\to q \); no puedo responder al instante cuál es cuál... :banghead:.

\( p \) implica \( q \) quiere decir que si \( p \) es verdadero entonces podemos garantizar que \( q \) lo es. Por tanto \( p \) es condición suficiente para \( q \) o lo que es lo mismo si \( p \) es verdadero necesariamente \( q \) también lo es; por tanto \( q \) es condición necesaria para \( p \).

Saludos.

07 Febrero, 2020, 08:05 am
Respuesta #6

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Hola

\( p \) implica \( q \) quiere decir que si \( p \) es verdadero entonces podemos garantizar que \( q \) lo es. Por tanto \( p \) es condición suficiente para \( q \) o lo que es lo mismo si \( p \) es verdadero necesariamente \( q \) también lo es; por tanto \( q \) es condición necesaria para \( p \).

Lo siento, Luis. Carlos también me lo explicó y no me entra. La primera oración la "digerí", pero jamás pude hacerlo con el resto... El día que explique a alguien sobre implicaciones recurriré al foro, o si soy un poco más sofisticado, me haré un "machete" y lo imprimiré :laugh:.

\( p\to q \): \( p \) es suficiente para \( q \), o \( q \) es necesaria para \( p \)... Recordando...

Saludos :laugh: