Autor Tema: Enteros de una ecuación

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06 Febrero, 2020, 11:40 pm
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YeffGC

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Estoy ayudando a unos jóvenes a entrar a las olimpiadas pero hay un problema que nos lleva un mes sin resolver a ver si me echan la manita:

Determinar si existen números reales \( x,y,z \) distintos de 0, tales que, los números \( a,b,c \) definidos por: \( a=\displaystyle\frac{y-z}{x},\quad b=\frac{z-x}{y},\quad c=\frac{x-y}{z} \)  cumplen que:

\( (a+b+c)^2=2abc-1 \)

07 Febrero, 2020, 08:49 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Estoy ayudando a unos jóvenes a entrar a las olimpiadas pero hay un problema que nos lleva un mes sin resolver a ver si me echan la manita:

Determinar si existen números reales \( x,y,z \) distintos de 0, tales que, los números \( a,b,c \) definidos por: \( a=\displaystyle\frac{y-z}{x},\quad b=\frac{z-x}{y},\quad c=\frac{x-y}{z} \)  cumplen que:

\( (a+b+c)^2=2abc-1 \)

Tienes que:

\( b+c=\dfrac{z^2-xz+xy-y^2}{yz}=\dfrac{(z-y)(z+y)-x(z-y)}{yz}=\dfrac{(z-y)(z+y-x)}{yz} \)

y entonces:

\( a+b+c=\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{(z-y)(z+y-x)}{yz}=(y-z)\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{z+y-x}{yz}\right)=\\
=(y-z)\left(\dfrac{yz-xz-xy+x^2}{xyz}\right)=\dfrac{(y-z)(x-y)(x-z)}{xyz}=-abc \)

Por tanto la ecuación queda:

\( (abc)^2=2abc-1 \)

\( (abc)^2-2abc+1=0 \)

\( (abc-1)^2=0 \)

Así que la única solución posible se produce si \( abc=1 \).

Ahora si hacemos \( x=1 \), \( y=-1 \) tienes:

\( a=-(1+z) \)
\( b=(1-z) \)
\( c=2/z \)

Para que \( abc=1 \) tiene que cumplirse:

\( 2(z^2-1)=z \)
\( 2z^2-z-2=0 \)

Donde:

\( z=\dfrac{1\pm \sqrt{1+16}}{2} \)

y por tanto SI existen números reales cumpliendo lo pedido.

Saludos.